多维随机变量及其联合分布;32边际分布与随机变量的独.pptVIP

第三章 多维随机变量及其分布 §3.2 边际分布与随机变量的独立性 3.2.1 边际分布函数 例3.2.1: 设(X,Y)的分布函数为 F(x,y)=A(B+arctanx)(C+arctany)， ?∞ x+∞ , ?∞ y+∞ 求(1)常数A,B,C (2)边际分布函数Fx(x),FY(y)。 3.2.2 边际分布列 3.2.3 边际密度函数 注 意 点 由联合分布可以求出边际分布. 但由边际分布一般无法求出联合分布. 例3.2.2: 设(X,Y)?N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)，即(X,Y)具有概率密度 3.2.4 随机变量间的独立性 若满足以下之一: i) F(x, y) = FX(x)FY(y) ii) pij = pipj iii) p(x, y) = pX(x)pY(y) 则称 X 与Y 是独立的， 注 意 点 (1) 若X 与Y是独立，则 例3.2.5 例3.2.6 注 意 点 (1) 注 意 点 (2) 例3.2.7: 设(X，Y)?N(μ1，μ2，σ12，σ22，ρ)，试证明X与Y相互独立的充要条件为ρ=0。 (1)充分性。如果ρ=0,则对所有x，y有 f(x，y) = fx(x)fY(y), 即X与Y相互独立。 (2)必要性。如果X与Y相互独立，由于f(x,y), fx(x), fY(y)都是连续函数，故对所有X，Y有 f(x,y) = fx(x)fY(y), 特别地，取x=μ1 ，y=μ2可得 证明: (X,Y) 的概率密度为 关于X和Y的边缘密度分别为 从而ρ=o. 思考2： 若某二维连续型随机向量的两个边际分布均为正态 分布， 那么该二维随机向量本身是否一定是二维正 态分布？ 如考虑如下二维连续型随机向量 (X,Y), 其联合概率密度为： 第三章 多维随机变量及其分布 * 第*页 §3.1 多维随机变量及其联合分布 §3.2 边际分布与随机变量的独立性 §3.3 多维随机变量函数的分布 §3.4 多维随机变量的特征数 §3.5 条件分布与条件期望 问题：已知二维随机变量 (X, Y) 的分布， 如何求出 X 和 Y 各自的分布？ 巳知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)， 则 Y 的分布函数 FY (y) , X的分布函数 FX (x) ， 分别称为(X,Y)关于X和关于Y的边际分布函数。 定义 边际分布也叫边缘分布或边沿分布。 设 为n维随机向量，其分布函数为 对于三维或更高维的随机变量, 我们类似的可定义边际分布. 其部分分量 的分布函数 边际分布。 称为 关于 的 定义 由于Fx(x)=P({X≤x}∩{Y+∞})=P{X≤x,Y+∞} 由联合分布函数可计算边际分布函数 故 Fx(x)= F(x,+∞). 同理有 FY(y)=F(+∞, y). 高维情形完全类似.如三维情形下，设(X,Y,Z)的分布函数为F(x,y,z)关于(X,Z)的边际分布为 联立这三个方程可得 解: 由分布函数的性质知 从而 巳知 (X, Y) 的联合分布列为 pij， 则 X 的分布列 Y 的分布列 定义 分别称为(X,Y)关于X和Y的边际分布列。 类似于分布函数， 三维及以上的离散型随机向量也可 定义关于部分分量的边际分布列。 边际分布列的计算 如果有了二维联合分布列的表格表示，则我们可在 数表上按如下方式计算边际分布列： X Y 设(X,Y)为连续型随机向量,具有概率密度f (x,y), X和Y的概率密度分别为fx(x),fY(y),分别称fx(x), fY(y)为(X,Y)关于X和Y的边际概率密度，也称边缘概率密度。 对于三维或更高维的连续型随机变量,我们类似的可定义边际概率密度. 定义 巳知 (X, Y) 的联合密度函数为 p(x, y)， 则它 关于X 的边际密度函数为 ： 关于Y 的边际密度函数为 ： 边际密度的计算 证明： 因为 另一方面 比较可得 同理 我们从下面的例子可以看到这一点。 求边际概率密度fx(x), fY(y) 。 解： 因 故 即X?N( )，Y?N( ).且