高等数学与初等数学有什么不同它们各自研究的对象和方法.pptVIP

绪论 三、函数 高等数学与初等数学有什么不同？它们各自研究的对象和方法是什么？ 大千世界万事万物，无不在一定的空间中运动变化，而在这过程 中都存在一定的数量关系。 数学——研究现实中数量关系与空间形式的科学。 阿基米德圆锥曲线的研究，变速运动，坐标系的出现是数学的转折点。 初等数学：形式逻辑。孤立，静止，一个一个的数。 微积分——无穷小量分析 在微积分中要加强而不是回避逻辑，要从直观上理解和分析漂亮的概念，严密性不妨碍直观理解。学会方向思维。 21世纪的高科技——“数学技术”，不仅是工具，而且从后台走到了前台。要明白：（1）数学作为科学方法的效力，他应有的统一与美；（2）数学的应用，最好的学习就是用？要培养应用数学的意识、兴趣和能力。 说明: 记号f和f(x)的区别: 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值. 说明: 为了叙述方便, 常用记号“f(x), x?D”或“y?f(x), x?D”来表示定义在D上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f . 说明: 函数的记号是可以任意选取的, 除了用f 外, 还可用“g”、“F”、“?”等, 此时函数就记作y?g(x)、 y?F(x)、y??(x)等. 但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记号. 设数集D?R, 则称映射f : D ?R为定义在D上的函数, 通常简记为 y?f(x), x?D, 其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作Df, 即Df?D. 1.函数概念 定义 构成函数的要素是定义域Df及对应法则f. 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的. 函数的两要素 函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定. 函数的定义域 对抽象地用算式表达的函数, 其定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合, 这种定义域称为函数的自然定义域. 求函数的定义域举例 单值函数与多值函数 在函数的定义中,对每个x?D, 对应的函数值y总是唯一的, 这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个x?D, 总有确定的y值与之对应, 但这个y不总是唯一的, 我们称这种法则确定了一个多值函数. 例如, 由方程x2?y2?r2确定的函数是一个多值函数: 此多值函数附加条件“y?0”后可得到一个单值分支 表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法). 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 坐标平面上的点集 {P(x, y)|y?f(x), x?D} 称为函数y?f(x), x?D的图形. 函数的表示法 此函数称为绝对值函数, 其定义域为D=(-?, +?), 其值域为Rf =[0, + ?). 例6 例5 函数 y=2. 这是一个常值函数, 其定义域为D=(-?, +?), 其值域为Rf ={2}. 函数举例 此函数称为符号函数, 其定义域为D=(-?, +?) , 其值域为Rf ={-1, 0, 1}. 例8 函数y=[x]. 例7 注: 设x为任上实数, 不超过x的最大整数称为x的整数部分, 记作[x]. 此函数称为取整函数, 其定义域为D=(-?, +?), 其值域为Rf =Z. 例9 此函数的定义域为D=[0, 1]?(0, +?)=[0, +?). f(3) =1+3=4. 分段函数 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数. 设函数f(x)的定义域为D, 数集X?D. 如果存在数K1, 使对任一x?X, 有f(x)?K1, 则称函数f(x)在X上有上界. (1)函数的有界性 如果存在数K2, 使对任一x?X, 有f(x)?K2, 则称函数f(x)在X上有下界. 如果存在正数M, 使对任一x?X, 有|f(x)|?M, 则称函数f(x)在X上有界; 如果这样的M不存在, 则