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第2章 刚体定轴转动 2.28 质量为M的空心圆柱体，质量均匀分布，其内外半径为R1和R2，求对通过其中心轴的转动惯量． 解V = π(R22 – R12)h，体密度为ρ = M/V．在圆柱体中取一面积为S = 2πRH，厚度为dr的薄圆壳，体积元为dV = Sdr = 2πrHdr，其质量为dm = ρdV， 绕中心轴的转动惯量为dI = r2dm = 2πρHr3dr， 总转动惯量为． 2.29 一矩形均匀薄板，边长为a和b，质量为M，中心O取为原点，坐标系OXYZ如图所示．试证明： （1）薄板对OX轴的转动惯量为； （2）薄板对OZ轴的转动惯量为． 证： 薄板的面积为S = ab，质量面密度为σ = M/S． （1）在板上取一长为a，宽为dy的矩形元，其面积为dS = ady， 其质量为dm =σdS， 绕X轴的转动惯量为dIOX = y2dm = σay2dy， 积分得薄板对OX轴的转动惯量为． 同理可得薄板对OY轴的转动惯量为． （2）方法一：平行轴定理．在板上取一长为b，宽为dx的矩形元，其面积为dS = bdx，质量为dm = σdS， 绕过质心的O`Z`轴的转动惯量等于绕OX轴的转动惯量 dIO`Z` = b2dm/12． 根据平行轴定理，矩形元对OZ轴的转动惯量为 dIOZ = x2dm + dIO`Z` = σbx2dx + b2dm/12， 积分得薄板对OZ轴的转动惯量为 ． 方法二：垂直轴定理．在板上取一质量元dm，绕OZ轴的转动惯量为dIOZ = r2dm． 由于r2 = x2 + y2，所以dIOZ = (x2 + y2)dm = dIOY + dIOX， 因此板绕OZ轴的转动惯量为． 2.30 一半圆形细杆，半径为R，质量为M，求对过细杆二端AA`轴的转动惯量． 解C = πR，质量的线密度为λ = M/C．在半圆上取一弧元ds = Rdθ，其质量为dm = λds，到AA`轴的距离为r = Rsinθ， 绕此轴的转动惯量为dI = r2dm = λR3sin2θdθ，半圆绕AA`轴的转动惯量为 2.31 如图所示，在质量为M，半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔．圆孔中心在圆盘半径的中点．求剩余部分对大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量． 解 = πR2，质量的面密度为σ = M/S．大圆绕过圆心且与盘面垂直的轴线的转动惯量为IM = MR2/2．小圆的面积为s = πr2，质量为m = σs，绕过自己圆心且垂直圆面的轴的转动惯量为IC = mr2/2， 根据平行轴定理，绕大圆轴的转动惯量为Im = IC + m(R/2)2． ， 剩余部分的转动惯量为 ． 2.32 飞轮质量m = 60kg，半径R = 0.25m，绕水平中心轴O转动，转速为900r·min-1．现利用一制动用的轻质闸瓦，在剖杆一端加竖直方向的制动力，可使飞轮减速．闸杆尺寸如图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦因数μ = 0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算． （1）设F = 100N，问可使飞轮在多长时间内停止转动？这段时间飞轮转了多少转？ （2）若要在2s内使飞轮转速减为一半，需加多大的制动力F？ 解0.5N` – 1.25F = 0， 所以N`=2.5F = 250(N)． 闸瓦对飞轮的压力为N = N`= 250(N)， 与飞轮之间摩擦力为f = μN = 100(N)， 摩擦力产生的力矩为M = fR． 飞轮的转动惯量为I = mR2/2， 角加速度大小为β = -M/I = -2f/mR = -40/3(rad·s-2)， 负号表示其方向与角速度的方向相反． 飞轮的初角速度为ω0 = 30π(rad·s-1)． 根据公式ω = ω0 + βt，当ω = 0时，t = -ω0/β = 7.07(s)． 再根据公式ω2 = ω02 + 2βθ，可得飞轮转过的角度为θ = -ω02/2β = 333(rad)， 转过的圈数为n = θ/2π = 53r． [注意]圈数等于角度的弧度数除以2π． （2）当t = 2s，ω = ω0/2时，角加速度为β = -ω0/2t = -7.5π． 力矩为M = -Iβ， 摩擦力为f = M/R = -mRβ/2 = (7.5)2π． 闸瓦对飞轮的压力为N = f/μ， 需要的制动力为F = N/2.5 = (7.5)2π = 176.7(N)． 2.33 一轻绳绕于r = 0.2m的飞轮边缘，以恒力F = 98N拉绳，如图（a）所示．已知飞轮的转动惯量I = 0.5kg·m2，轴承无摩擦．求 （1）飞轮的角加速度． （2）绳子拉下5m时，飞轮的角速度和动能． （3）将重力P = 98N的物体挂在绳端，如图（b）所示，再求上面的结果． 解M = Fr = 19.6(N·m)， 对飞轮产