线性代数公式精简版.docVIP

1、行列式 代数余子式和余子式的关系： 逆序数计算 行列式的重要公式： （1）、主对角行列式：主对角元素的乘积； （2）、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积； 2、矩阵 是阶可逆矩阵： （是非奇异矩阵）； （是满秩矩阵） 的行（列）向量组线性无关； 齐次方程组只零解； ，总有唯一解； 与等价； 对于阶矩阵： 无条件恒成立； 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 方阵行列式性质。 注意：矩阵乘法不满足交换律。 3、矩阵的初等变换与线性方程组 一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：； 等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵、，若； 行最简形矩阵： ①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1； ③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0； 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） 若，则可逆，且； ②、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：； ③、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且； 矩阵秩的基本性质： ①、； ②、； ③、若，则； ④、若、可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、； ⑥、； ⑦、； 关于矩阵秩的描述： ①、，中有阶子式不为0，阶子式全部为0；（两句话） ②、，中有阶子式全部为0； ③、，中有阶子式不为0； 线性方程组的求解： ①、对增广矩阵进行初等行变换（只能使用初等行变换）； ②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得； 由个未知数个方程的方程组构成元线性方程： ①、； ⑤、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数） 4、向量组的线性相关性 个维列向量所组成的向量组：构成矩阵； 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； ①、向量组的线性相关、无关 有、无非零解；（齐次线性方程组） ②、向量的线性表出 是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 是否有解；（矩阵方程） 线性相关与无关的两套定理： 若线性相关，则必线性相关； 若线性无关，则必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组： 若线性无关，则也线性无关；反之若线性相关，则也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定； 向量组（个数为）能由向量组（个数为）线性表示，且线性无关，则； 向量组能由向量组线性表示，则； 向量组能由向量组线性表示 有解； 向量组能由向量组等价 对于矩阵与： ①、若与行等价，则与的行秩相等； ②、若与行等价，则与同解，且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵的行秩等于列秩； 线性相关 存在一组不全为0的数，使得成立；（定义） 有非零解，即有非零解； ，系数矩阵的秩小于未知数的个数； 设的矩阵的秩为，则元齐次线性方程组的解集的秩为：； 若为的一个解，为的一个基础解系，则线性无关； 3