2015年《高考风向标》高考理科数学一轮复习第四章第3讲导数的综合应用.pptVIP

* 第 3 讲 导数的综合应用 1．求参数的取值范围 与导数相关的参数范围问题是高考中考查的一个重点，大 多给出函数的单调性，属运用导数研究函数单调性的逆向问题， 解题关键在于灵活运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想 方法，建立关于字母参数的不等关系． 2．用导数方法证不等式 用导数证不等式的一般步骤是：构造可导函数→研究单调 性或最值→得出不等关系→整理得出结论． 3．平面图形面积的最值问题 此类问题的求解关键在于根据几何知识建立函数关系，然 后运用导数方法求最值．上述三类问题，在近几年的高考中都 是综合题，难度较大，体现了在知识交汇点处命题的思路，注 重考查综合解题能力和创新意识，复习时要引起重视． ) A 则物体在 t＝3 s 的瞬时速度为( A．30 C．45 B．40 D．50 ) C 2．已知函数 f(x)＝(2πx)2 ，则 f′(x)＝( A．4πx B．8πx C．8π2x D．16πx 3．如果函数 y＝f(x)的图像如图 4－3－1 所示，那么导函数 ① y＝f′(x)的图像可能是_____. 图 4－3－1 5．已知函数 y＝f(x)的图像在点 M(1，f(1))处的切线方程是 y＝3x＋1，则 f(1)＋f′(1)＝_____. 7 考点 1 利用导数研究函数的基本性质 例 1：设 t≠0，点 P(t,0)是函数 f(x)＝x3＋ax 与 g(x)＝bx2＋c 的图像的一个公共点，两函数的图像在点 P 处有相同的切线． (1)用 t 表示 a、b、c； (2)若函数 y＝f(x)－g(x)在(－1,3)上单调递减，求 t 的取值范围． 考点 2 利用导数研究图像的交点 例 2：已知函数 f(x)＝x3－3ax－1，a≠0. (1)求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)在 x＝－1 处取得极值，直线 y＝m 与 y＝f(x)的图 像有三个不同的交点，求 m 的取值范围． 解析：(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)， 当 a＜0 时，对 x∈R，有 f′(x)＞0， ∴当 a＜0 时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)； (2)∵f(x)在 x＝－1 处取得极大值， ∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1. ∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3， 由 f′(x)＝0 解得 x1＝－1，x2＝1. 由(1)中 f(x)的单调性可知，f(x)在 x＝－1 处取得极大值 f(－ 1)＝1，在 x＝1 处取得极小值 f(1)＝－3. ∵直线 y＝m 与函数 y＝f(x)的图像有三个不同的交点，又 f(－3)＝－19＜－3，f(3)＝17＞1， 结合 f(x)的单调性可知，m 的取值范围是(－3,1)． ↗ 极小值 ↘ 极大值 ↗ 极小值 ↘ f(x) ＋ 0 － 0 ＋ 0 － f′(x) (a，＋∞) a (0，a) 0 (－2a,0) －2a (－∞， －2a) x 【互动探究】 (1)求函数 y＝f(x)的单调区间； (2)若函数 y＝f(x)的图像与直线 y＝1 恰有两个交点，求 a 的取值范围． 解：(1)因为 f′(x)＝x3＋ax2－2a2x＝x(x＋2a)(x－a), 令 f′(x)＝0 得 x1＝－2a，x2＝0，x3＝a. 由 a0 时，f′(x)在 f′(x)＝0 时根的左右的符号如下表所 示 错源：没有考虑重根的情形 例 3：已知函数 f(x)＝x3－ax2－3x. (1)若 f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数 a 的取值范 围； (3)在(2)的条件下，是否存在实数 b，使得函数 g(x)＝bx 的 图像与函数 f(x)的图像恰有 3 个交点，若存在，请求出实数 b 的 取值范围；若不存在，试说明理由． 误解分析：没有考虑重根情形以致漏解． 【互动探究】 2．已知函数 f(x)＝x＋b 的图像与函数 g(x)＝x2＋3x＋2 的图 像相切，记 F(x)＝f(x)g(x)． (1)求实数 b 的值及函数 F(x)的极值； (2)若关于 x 的方程 F(x)＝k 恰有三个不等的实数根，求实数 k 的取值范围． 图 4－3－2 作函数 y＝k 的图像，当 y＝F(x)的图像与函数 y＝k 的图像 有三个交点时，关于 x 的方程 F(x)＝k 恰有三个不等的实数根． (2)由(1)可知函数 y＝F(x)大致图像如图 4－3－2. 关于导数的应用，课标要求： (1)了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数 的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间． (2)了解函数在某点取得极值的必