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数学实验之十二迭代（2）---分形 中国科学技术大学数学系 陈发来 实验内容 什么是分形？ 图形迭代 函数迭代 IFS迭代 分形的应用 1、什么是分形 分形发展简史 欧氏几何、解析几何、微分几何—正则 微积分，复变函数---光滑 反例 1，Cantor集合 B. B. Mandelbrot 对于一条直线段，将它等分，每段长度为原来的1/N，共分为N段。 将一个正方形每边等分成N段，共有N^2个小正方形。 将一个立方体每边等分成N段，共有N^3个小立方体。 一般地，设一图形可分解为m个与之相似的子图形，每个子图形是原来的1/c. 则图形的维数D满足：c^D=m. 2、图形迭代生成分形 给定初始图形 ，依照某一规则 对图形反复作用 得到图形序列 其极限图形是分形，作用规则 称为生成元。 6、花草树木(L系统） 生物学家Lindenmayer提出。一个L系统可表示为一个有序的三元素集合： 其中：V是一些运动过程集合， w是初始形状， P是生成式。 例如，F表示向前距离d, +表示左转弯a, -表示右转弯，[表示压栈，]表示出栈。 3、函数迭代产生的分形 用Z表示复数，定义在复平面上的函数 f(Z)称为复变函数。 任意给定初始复数值 ，定义复数序列 对于什么样的初始值 ，复数序列 收敛或有界？ ４、IFS迭代产生分形 混沌游戏 　给定平面上三点A, B, C。再任意给定初始点 , 做下列迭代　 利用IFS迭代可以得到图象压缩的有效方法。对给定的图像，利用 IFS 迭代原理，确定一系列仿射变换 ，使得对任给的概率 ，由 确定的IFS的吸引子就是给定的图像。即要解 IFS 迭代的逆问题。 5、分形欣赏 分形时装 分形音乐 相关主页： /SiliconValley/Haven/4386 /fxiy/index.htm 分形影院 /fxyy/fs/fs005.htm 当掷出的硬币呈正面 当掷出的硬币呈反面 当掷出的硬币呈侧面 按上述方式迭代数百次，呈现极不规则的图形。故称为混沌游戏。 IFS迭代 IFS--Iterated Function System 取定 n 个仿射变换 以及 n 个概率 任给初值 ，以概率 选取变换 进行迭代 则点集 的聚点集合称为一个IFS吸引子。 用IFS绘制分形的方法 １、设图形可视区域为 假设采用L 级灰度的图像绘制，总迭代次数为N。 ２、将 V 分成 　　的网格，格点为 用　　　　　　　　表示矩形区域。用　表示在N次迭代中落入　 中点的个数。记 则象素 (i,j)的灰度为 一些实例 Cantor 树　 龙曲线 * * Cantor 集合 中点数不可数（比有理数还多！），但其区间长度为零！ 反例 2，Weierstrass函数 其中 1s2 且 ，W(x) 是处处连续、 处处不可微的函数。对应 s=1.4, 的图象是 反例 3，Van Koch 雪花曲线 大自然的不规则性： 树木花草、山川河流、烟雾云彩等是不 规则的。晶体的生长，分子的运动轨迹等也是不规则的。如何用几何来描述它？ B. Mandelbrot 观察到英国海岸线与Van Koch 曲线的关系，提出了一门描述大自 然的几何形态的学科---分形(Fractal) 英国的海岸线有多长？ 分形的特性 1、具有无限精细的结构 2、局部与整体的相似性 3、具有非拓扑维数，并且它大于对应的 拓扑维数 4、具有随机性 5、在大多数情况下，分形可以用非常 简单的方法确定，可能由迭代产生。 分形的维数 1、相似维数：设分形 F 是自相似的，即 F 由 m 个子集构成，每个子集放大 c 倍后同 F一样，则定义 F 的维数为 例如，对于Cantor集， 对于Van Koch 雪花曲线， 2、盒子维数：设 是有界集合，其中 R 是正方形。将 R 分成边长为 的子正方形。记 为子正方形中包含 F 中点的子正方形的个数。定义 F 的盒子维数为 例如，对于 Weier