高中数学新人教A版选修 第一章 导数及其应用 1.5.1 曲边梯形的面积 课件.pptVIP

1．5　定积分的概念 1．5.1　曲边梯形的面积 1．5.2　汽车行驶的路程 了解求曲边梯形的面积、汽车行驶的路程的求解方法，了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法． 本节重点：曲边梯形的面积、汽车行驶路程的求法． 本节难点：“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法． 1．正确理解曲边梯形的概念是研究曲边梯形面积的关键，实际上，曲边梯形是由曲线段和直线段所围成的平面图形． 2．曲边梯形与“直边图形”的主要区别是前者一边是曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段． 3．求曲边梯形面积的思想方法 一般地，对曲边梯形，我们可采用分割、以直代曲、求和、取极限的思想方法求出其面积． 4．求做变速直线运动物体路程的思想方法 一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么我们可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所走的位移s. 事实上，类似于求曲边梯形面积的过程，汽车行驶的路程s就是由直线t＝a，t＝b，v＝0和曲线v＝v(t)所围成的曲边梯形的面积． 1．连续函数 如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的 函数． 2．曲边梯形的面积 (1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线 所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． (2)求曲边梯形面积的方法与步骤： ①分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些 (如图②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“ ”，即用 的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的 (如图②)； ③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值 ； ④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个 ，即为曲边梯形的面积． 3．求变速直线运动的位移(路程) 如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用 的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s. [例1]　求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积． [分析]　只要按照分割、近似代替、求和、取极限四步完成即可． 过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn. (2)近似代替 用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积： (3)求和 因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S的近似值，即 [点评]　(1)分割的目的在于更精确地“以直代曲”．上例中以“矩形”代替“曲边梯形”，随着分割的等份数增多，这种“代替”就越精确．当n愈大时，所有小矩形的面积就愈逼近曲边梯形的面积． (3)求曲边梯形的面积，通常采用分割、近似代替、求和、取极限的方法． 求直线x＝1，x＝2，y＝0与曲线y＝x3所围成的曲边梯形的面积． (3)求和： 因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD面积S的近似值，即 (4)求极限： 当分点数目愈多，即Δx愈小时，和式①的值就愈接近曲边梯形ABCD的面积S.因此，n→＋∞即Δx→0时，和式①的极限就是所求的曲边梯形ABCD的面积． [例2]　已知某运动物体做变速直线运动，它的速度v是时间t的函数v(t)，求物体在t＝0到t＝t0这段时间内所经过的路程s. (2)近似代替 在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的距离： (3)求和 因为每个小区间上物体运动的距离可以用这一区间上做匀速直线运动的路程近似代替，所以在时间[0，t0]范围内物体运动的距离s就可以用这一物体分别在n个小区间上做n个匀速直线运动的路程和近似代替， (4)取极限 求和式①的极限： [点评]　求变速直线运动的路程问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，仍然利用以直代曲的思想，将变速直线运动问题转化为匀速直线运动问题，求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限． 一辆汽车在直线形公路上作变速行驶，汽车在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋5(单位：km/h)．试计算这辆汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)． [答案]　C A．f(x)的值变化很小 B．f(x)的值变化很大 C．f(x)的值不变化 D．当n很大时，f(x)的值变化很小 [答案]　D [解析]　由求曲边梯形面积的流程中近似代替可知D正确，故应选D. 二、填空题 3．求由抛物线f(x)＝x2，直线x＝1以及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0,1]5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，所有小矩形的面积之和为________． [答