常微分方程4.1 微分方程组的概念.pptVIP

第四章 微分方程组 前面几章研究了只含一个未知函数的一阶或 高阶方程，但在许多实际的问题和一些理论问题中， 往往要涉及到若干个未知函数以及它们导数的方程 所组成的方程组，即微分方程组， 本章将介绍一阶微分方程组的一般解法， 重点仍在线性方程组的基本理论和常系数线性方程 的解法上. 4.1 微分方程方程组的概念 4.2 微分方程组的消元法和首次积分法 4.3 线性微分方程组的基本理论 4.4 常系数齐次线性微分方程组 4.6 微分方程组应用举例 4.5 常系数非齐次线性微分方程组 Volterra 捕食-被捕食模型 设有捕食种群和食饵种群生活在同一小环境中, 建立微分方程组来研究两种群个体数量随时间的 变化趋势. 设 t 时刻食饵和捕食者的数量或密度分别为 假设个体不区分大小, 而且没有个体 向环境输入或从环境输出. 一、微分方程组的实例及有关概念 4.1 微分方程组的概念 为环境的容纳量. 当 时, 种群规模增长, 时, 种群规模减小. 当环境中不存在捕食者时, 食饵种群的 增长规律用下述Logistic方程来描述 称为密度制约项. 由于捕食者的存在, 将使食饵的增长率减少, 设单位时间内每个捕食者吃掉的食饵数量与 该时刻食饵的总量成正比, t 时刻有y(t) 个捕食者, 它们在单位时间内吃掉食饵的总数量为 食饵种群 对于捕食种群, 当不存在食饵种群时, Logistic方程描述增长规律: 项反映了捕食者仅以食饵 为生. 当存在食饵种群时, 被捕食者吃掉的食饵 将转化为能量去生育后代, 设转化系数为 则捕食种群的 增长规律为 Volterra 捕食-食饵系统: 质点的空间运动 已知在空间运动的质点 的速度与 时间 t 及点的坐标 的关系为 且质点在时刻 经过点 求该质点的运动轨迹. 这个问题其实就是求微分方程组 满足初始条件 的解 高阶微分方程 令 则可以化为方程组: 高阶微分方程组? 今后我们只研究 一阶微分方程组. 含有 个未知函数 的一阶微分方程组 线性微分方程组? 非线性微分方程组? 微分方程组的解? 通解及通积分 如果通解满足方程组 则称为方程组的通积分. 含有 个任意常数 的解 为方程组的通解 . 这里 相互独立. 二、函数向量与函数矩阵 （1）函数向量和函数矩阵 n维函数向量 注：关于向量或矩阵的代数运算! 为 上的函数. 阶函数矩阵 关于函数向量与函数矩阵的连续、微分、积分? 3. 2. 对任意常数 性质： 1. 且 且 （2）矩阵及向量的范数 4. 5. 向量序列和矩阵序列的收敛 称为收敛的， 向量序列 如果 数列 都是收敛的。 上收敛的（一致收敛的）， 函数向量序列 称为在在区间 如果 函数列 都是收敛的（一致收敛的）。 在区间 函数向量级数 如果其部分和所作成的函数向量序列 是收敛的(一致收敛的). 与数学分析中关于函数序列和函数级数有类似结论. 例如：判别通常的函数级数的一致收敛性 的维尔斯特拉斯判别法对于函数向量级数也成立。 在区间I上收敛 (一致收敛),则称 在区间I 如果 而级数 是收敛的，则函数向量级数 在区间 上是一致收敛的。 如果连续函数向量序列 在 上是 一致收敛的， 则 函数矩阵序列的收敛? （3）微分方程组的向量表示 矩阵形式: 记 初始条件 初始值问题: 例1: 将初值问题 化为用矩阵表示的方程组形式. 解: 则有 设 令 则有 初始条件