第八章 常微分方程组的数值解.pptVIP

例如 k=3 时有： （7） （7）称为Adams四步显式法。它用到了四个节点上的f值，是 一种最常用的多步法，其精度为四阶。 如果利用 共k+1个数据来构造一个Newton内插多次式 ，则与上面类似推导可得： 局部截断误差为： 当k=0时， 即为隐式Euler格式。 局部截断误差为： 当k=1时， 即为梯形格式。 局部截断误差为： 对于不同k值下的 和 可算出，列表如下： k j 因而具有P阶精度: 对于一阶常微分方程（1）的解y=y(x)，可利用中值定理得： ， 即 也 即 式中K= （5） 例:用Taylor公式求解初值问题: K可看作是 y=y(x)在区间 上的平均斜率。从而Euler公式 相当于取 点上的斜率 作为平均斜率K的 近似值，这当然十分粗糙，因而精度必然很低。 再考虑改进Euler公式（15）可改写成 ： 和 两个点上的斜率 和 的算术平均值作为（4）中平均斜率 K的近似值。其中 是 通过 已知 与（4）比较可见，它相当于把 信息 来近似地预测的 。 这个过程启示我们，如果设法在 内多预测几个点的斜率 值，然后将它们加权平均作平均斜率K的近似值，就有可能构造 出更高精度的计算公式。这就是Runge-Kutta方法的基本思想。 的 现在，设想取区间 内某一节点 上 斜率 与 点上的 斜率 作线性组合（即加权平均）化为 平均斜率K的近似，即（4）化为： 为了要得到 点上的斜率 ，需先预测 根据预测值 再来算出 由此构造出计算格式： （6） 上式中含三个待定系数 和p，适当选定它们以使算法的局部 误差为 ，从而具有二阶精度。 假定 ，分别将 和 作Taylor展开得： 由（2）得： 将此式与 y(x) 在 处的二阶Taylor展开在 处的取值相比较： 代入（6）得： 成立，则（6）的局部截断误差就等于 ，从而能具有二阶精度。 由系数比较知，只要： （7）中三个待定 参数 P ，但只有两个方程，因此还有一个自由度。凡满足条件（7）的一族格式统称为二阶Runge-Kutta格式。 当p=1 ， 时，二阶Runge-Kutta格式（6）即为改进的 Euler格式（15）。 如取p= 1/2 ，则 ，二阶R-K格式（6）成为： 称之为变形的Euler格式 。 由于（8）中的 是由Euler格式预测出来的区 间 中的点 的近似解， 就近似地等于此中点的斜率 ，因此（8）就相当于用中点 的 斜率作为（4） 中平均斜率K的近似值，故格式（8）也称为中点格式。 总之，二阶R-K格式用多算一次函数值f的办法，避开了二 阶Taylor级数法所要求计算的 f的导数值，在这种意义上可以说， R-K方法实质上是Taylor方法的变形。 并用三个点 的斜率值 线性组合得到平均斜率 K，这时计算公式为： 其中 仍用公式（6）所取的形式。 为了预测点 的 斜率值 ，在区间 内有两个 为了进一步提高精度，设除了 外，再考虑一点 表面上， 只含一个斜率值 ， 但 要通过 才能算出来，因此式中隐含着