第9章 常微分方程初值问题数值解法.pptVIP

数值分析 李小林 重庆师范大学数学学院 一、Runge-Kutta方法的基本思想 §3 龙格-库塔（Runge-Kutta）方法 显式单步法的一般形式： R-K方法是利用一些点的线性组合构造增量函数， 使得相应方法的局部截断误差的阶数尽可能高。 ?二阶Runge-Kutta方法 确定参数 ，使得 与 在点 的Taylor展开式有尽可能多的相同项。 比较两式的相同项得 方程组有无穷多解 若取其一组解 则得到改进的Euler公式（二阶方法） 若取其另一组解 则得到二阶的Heun（休恩）公式。 二、显式Runge-Kutta方法及其稳定性 和 设 是一个正整数，代表使用函数值 的个数， 是一些特定的权因子（均为 实数），则称下列方法（公式） 为初值问题 的m级显式Runge–Kutta公式， 其中 类似前面的处理方法，可以得到四级方法：m =4 局部截断误差 最常用的一种四阶方法：经典显式Runge-Kutta公式 解： 例2：用经典的四阶Runge-Kutta 方法求解下列初值问题 。 经典的四阶Runge-Kutta公式： 注：?对于显式N级R-K方法，最多只能得到N阶方法。 ?上述方法的缺陷：计算非常复杂。 ?可通过积分方法确定参数。 例2：确定如下三级三阶显式Runge-Kutta公式中的参数： 解： 对微分方程 两边积分得 采用Simpson公式计算上式右端积分项 可设参数 则有 选择剩余参数，使得 取 取 利用Taylor展开式 代入 当 时， 例3：求经典四阶的R-K方法的绝对稳定域。 解： 其绝对稳定域为 三、隐式Runge-Kutta方法 m级隐式R–K方法的一般形式 其中系数的确定方法同显式R–K方法完全类似 (1)一级二阶的隐式中点方法： (2)二级四阶的隐式R-K方法： N级隐式R-K法 可以达到2N阶 缺陷：需要求解 非线性方程（组） 一、k步线性多步法 §4 线性多步法 /*Linear Mutistep Method and Predictor-Corrector Format*/ 所谓的线性多步法，指的是某一步解的公式不仅与前一步的值有关，而且与前面若干步解的值有关的方法。 对初值问题 两边积分得 将 换为节点 取节点 ，构造 的k+1个点的 Lagrange插值多项式： ?多步显式公式 * 数值分析 第9章 常微分方程初值问题数值解法 * Numerical Analysis 第九章 常微分方程初值问题数值解法 /*Numerical Method for Ordinary Differential Equations*/ 许多实际问题的数学模型是微分方程或微分方程的初值问题,如物体运动,电路震荡,化学反映及生物群体的变化等。 能用解析方法求出精确解的微分方程为数不多,而且有的方程即使有解析解,也可能由于解的表达式非常复杂而不易计算,因此有必要研究微分方程的数值解法。 《常微分方程》中介绍的微分方程主要有: (1)变量可分离的方程 (2)一阶线性微分方程(贝努利方程) (3)可降阶的一类高阶方程 (4)二阶常系数齐次微分方程 (5)二阶常系数非齐次微分方程 (6)全微分方程 本章主要介绍一阶常微分方程初值问题的数值解法。 ③　图形解 x y o ①简单的微分方程 ②复杂、大型的微分方程 ①　解析解 y = f(x) ②　数值解 (xi, yi) 欧拉方法 改进欧拉方法 梯形法 龙格-库塔法 ?初值问题及其数值解的概念 §1 引言 常用的一些 解析解法： 常数变易法、Lapalace变换等 分离变量法、变量代换、 一阶常微分方程初值问题： 对于初值问题 ，如果 在下列区域内连续： （解的存在唯一性） 且关于 满足Lipschitz条件，即存在常数 ，使 则初值问题 存在唯一解，且解是连续可微的。 所谓数值解是指：在解的存在区间上取一系列点 逐个求出 的近似值 等距节点： 步长 ?初值问题 的解析解及其数值解的几何意义： 初值问题 的解表示过点 的一条曲线 初值问题 的数值解表示一组离散点列 可用拟合方法求该组数据 的近似曲线 积