第七章‘ 常微分方程.pptVIP

第一节 引例1. 引例2. 列车在平直路上以 内容小结 内容小结 思考题 第三节 练习. 解微分方程 内容小结 3. 注意用变量代换将方程化为已知类型的方程 思考与练习 第五节 一、 二、 三、 内容小结 思考 第六节 一、齐次线性方程解的结构 定义: 定理 2. 二、非齐次线性方程解的结构 定理 5. Ex1. 第七节 二阶常系数齐次线性微分方程: 小结: 推广: 例4. 例6. 例7. 内容小结 思考与练习 第八节 例1. 例2. 第一步 第二步 求如下两方程的特解 第四步 分析 小 结: 例3. 内容小结 思考与练习 2. 求微分方程 3. 已知二阶常微分方程 的一个特解. 解: 本题 而特征方程为 不是特征方程的根 . 设所求特解为 代入方程 : 比较系数, 得 于是所求特解为 的通解. 解: 本题 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 比较系数, 得 因此特解为 代入方程得 所求通解为 利用欧拉公式将 f (x) 变形 二、 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 故 等式两边取共轭 : 为方程 ③ 的特解 . ② ③ 设 则 ② 有 特解: 可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 令 方程 如何代换求解 ? 答: 令 或 有时用前者方便，有时可能用后者方便 . 要会灵活运用。 均可. 例如, 高阶线性微分方程解的结构 二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 一、二阶线性微分方程 n 阶线性微分方程的一般形式为 为二阶线性微分方程. 时, 称为n 阶非齐次线性方程 ; 时, 称为n 阶齐次线性方程. 复习: 一阶线性方程 通解: 非齐次方程特解 齐次方程通解 Y 二阶线性微分方程 是二阶齐次线性方程 的两个解, 也是该方程的解. 证: 代入方程左边, 得 (叠加原理) 定理1. 说明: 不一定是所给二阶方程的通解. 例如, 是二阶齐次方程 也是齐次方程的解 并不是通解. 但是 则 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 的解, 若 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 使得 则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在(?? , ?? )上都有 故它们在任何区间 I 上都线性相关; 又如， 若在某区间 I 上 则根据二次多项式至多只有两个零点 , 必需全为 0 , 可见 在任何区间 I 上都 线性无关. 若存在不全为 0 的常数 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: 线性相关 存在不全为 0 的 使 ( 无妨设 线性无关 常数 思考: 中有一个恒为 0, 则 必线性 相关 . 常数 是二阶齐次线性方程的两个线 性无关的特解, 则 数) 是该方程的通解. 例如, 方程 有特解 且 常数, 故方程的通解为 推论: 是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关的解, 则方程的通解为 是二阶非齐次方程 的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 定理 3. 则 是非齐次方程的通解 . ② ① 例如, 方程 有特解 对应齐次方程 有通解 因此该方程的通解为 解的叠加原理 那么 就是原方程的特解. 是对应齐次方程的 n 个线性 无关的解, 给定 n 阶非齐次线性方程 是非齐次方程的特解, 则非齐次方程 的通解为 齐次方程通解 非齐次方程特解 常数, 则该方程的通解是 ( ). 设线性无关函数 都是二阶非齐次线 性方程 的解, 是任意 提示: 都是对应齐次方程的解, 二者线性无关 . Ex2. 已知微分方程 个解 求此方程满足初始条件 的特解 . 解: 是对应齐次方程的解, 且 常数 因而线性无关, 故原方程通解为 代入初始条件 故所求特解为 有三 又 常系数 齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求代数方程之根 转化 和它的导数只差常数因子, 代入①得 称②为微分方程①的特征方程, 1. 当 时, ②有两个相异实根 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 ( r 为待定常数 ), ① 所以令①的解为 ② 则微分 其根称为特征根. 2. 当 特征方程 微分方程有一个特解 设另一特解 ( u (x) 待定) 代入方程 是特征方程的重根 取 u = x , 因此原方程的通解为 相等实根 时, 有两个 得: 则得 3. 当 特征方程 这时原方程有两个复数解: 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解: 因此原方程的通解为 时, 一对共轭复根 有 {欧拉公式 特征方程: 实根 特 征 根 通 解 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 若特征方程