常微分方程4.pptVIP

第3章 高阶微分方程 要求掌握 线性微分方程的基本理论 常系数方程的解法！ §3.1 线性微分方程的一般理论 解的存在唯一性定理（P32） 问题 在什么条件下，能够成为n阶齐次线性微分方程的通解？ 它将具有什么特性？ 函数线性相关与线性无关 定义3.1.1(线性相关与线性无关) 例 齐线性微分方程解的性质 性质3.1.1 证明: 因为 所以,由微分性质两式相加得 性质3.1.2 证明: 则 故 通解的结构 定理3.1.7 证明: 这些任常数是相互独立的, (3.1.8)为方程(3.1.1)的解, 由定理3.1.6的证明过程易知, 由性质3.1.1知, 故(3.1.8)为方程(3.1.1)的通解. 则由性质3.1.2知, 由定理3.1.6知, 故 即方程(3.1.1)的任一解都可由(3.1.8)表出, (3.1.8)包括了(3.1.1)的所有解. 常数变易法 则 为方程(3.1.2)的通解. 此时(3.1.9)变为 将它代入(3.1.1), 在理论上,这些限制条件可以任意给出,但为了运算方便,我们按下面方法来给出这n-1个条件, 令 得 和表达式 继续上面做法,直到获得第n-1个条件 和表达式 * 3.1.1 引言 n阶非齐次（齐次）线性微分方程 定义 称为n阶齐次线性微分方程 例 定理3.1.1 4.1.2 齐线性方程的解的性质和结构 定理3.1.2 叠加原理 证明: 故有 例1 的解. 解: 定义3.1.2 伏朗斯基(Wronsky)行列式 函数的线性相关性与Wronsky行列式的关系 定理3.1.3 证明: 使得 由线性代数理论知 要使方程组存在非零解, 则它的系数行列式必为零, 注 定理3的逆不成立. 如函数 事实上,若有恒等式 则 推论3.1.1 定理3.1.4 证明: “反证” （定理3.1.3的逆否命题） 现以这组常数构造函数, 由定理3.1.2知, 又因为 由解的唯一性定理知 由定理3.1.4易得下面结论 推论3.1.2 推论3.1.3 由定理3.1.1知,方程(3.1.2)满足下面n个初始条件 又因为 由此得下定理 齐线性方程线性无关解的存在性 定理3.1.5 通解的结构 定理3.1.6 考虑方程组 以这组常数构造 由解的唯一性定理得: 即 推论 基本解组: 注: 基本解组不是唯一的. 例1 因而有 证明: 由于 微分上述行列式,得 这时行列式最后一行的元素是 则 即 从而 所以 故 这是著名的刘维尔公式 例2 对二阶微分方程 解: 由刘维尔公式得 由此可得 则 就是二阶方程的另一解, 又因为 从而通解为 例3 求微分方程 解: 由上面导出的二阶方程的通解公式可得, 4.1.3 非齐次线性方程与常数变易法 非齐线性微分方程 对应齐线性微分方程 *