常微分方程10.pptVIP

当方程组(4.2.1)的系数矩阵A 的特征根均是单根时，T和J都好确定.其基解矩阵的求解问题，归结到求这些特征根所对应的特征向量.然而，当矩阵A 的特征方程有重根时，以上办法比较麻烦.这是因为 矩阵A的特征根有重根的情形 （2）若A 有重特征根，则其Jordan标准型并不能马上确定！！！ 例 (1)若A 有重特征根，T与特征向量之间的关系 不好确定,计算比较麻烦. 处理方法：待定系数法 定理4.2.2 * 4.2 常系数线性方程组 一阶常系数线性微分方程组: 本节主要讨论(4.2.1)的基解矩阵的求法. 4.2.1矩阵指数expA的定义和求法 1 expA的定义 定义 注1: 矩阵级数(4.2.2)是收敛的. 由于 而数项级数 收敛 . 2 矩阵指数的性质 由于: 绝对收敛级数的乘法定理 由于: 由于: 3 常系数齐线性微分方程组的基解矩阵 定理4.2.1 矩阵 是(4.2.1)的基解矩阵,且 证明: 又因为 例1 如果A是一个对角矩阵 解 由(4.2.2)得 例2 解 因为 而后面两个矩阵是可交换的 故 例 其中， 这里， 其中， 计算可得 4.2.2基解矩阵的计算公式 1 基解矩阵与系数矩阵特征值和特征向量的关系 例3 解 的根, 解得 解得 例4 解 特征方程为 为求其对应的特征向量 考虑方程组 解得 容易验证 1、特征根为单根 于是， 即 确定. 所以，此时方程（4.2.1）的基解矩阵为 解题步骤： 例7 求方程组 的通解. 解 因此特征根为 它们相的特征向量为 故基解矩阵为 故通解为 注1: 但由于 有 从而 注2： 当矩阵A是实矩阵时，通常要求实值通解. 但我们知道，实矩阵往往会对应成对的复特征根. 注3： 有复特征值时解题步骤： 解 的根, 例5 以及满足初始条件 的解. 解得 解得 故，矩阵 就是一个基解矩阵. 故实基解矩阵为 由于基解矩阵为 故该方程的通解为 从而 由初始条件有 故 *