拉丁方与正交拉丁方的应用和构造.pdfVIP

第 22卷第 4期 宁德师专学报 (自然科学版) V0I．22 NO．4 2010 年 11月 JournalofNingdeTeachem College (NaturalScience) NOV． 201O 拉丁方与正交拉丁方的应用和构造 刘秀梅 (泉州理工学院信息系，福建 泉州 362000) 摘 要 ：引入拉丁方的概念，介绍 拉丁方和正交拉丁方在实际中的应用，并给 出它们的构造方法． 关键词 ：拉丁方；正交拉丁方；构造 ；应用 中图分类号：O 157．2 文献标码 ：A 文章编号：1004—2911(201o140-0347—03 组合数学是一门很古老的学科，人们对它的兴趣和研究颇早，它起始于数学游戏，例如中国古代 的游 戏九连环，起初 只是研究娱乐或审美要求所涉及的组合问题．近代随着计算机 的出现，组合数学这门学科 得到了迅猛的发展，成为了一个重要的数学分支．拉丁方和正交拉丁方是组合数学中的一个重要课题，在 实际应用中有着重要的作用． 1 拉丁方和正交拉丁方 定义 1 由 1，2，…，构成的n× 方阵() ，要求每行及每列 1，2，… 各出现一次，这样 的方阵称 为拉丁方． 定义 2 设A1=( ‘) ，A2=( ) 是两个 nxn的拉丁方．若矩阵( ”‘， ‘) 中的n个数偶 ( ”‘， 。)互不相同，i=l，2，…，n，则称A 和 ：正交，或称 。和A 是互相正交 的拉丁方． 任意的正整数 都存在 阶拉丁方，但不是存在任意阶数的正交拉丁方．1782年，欧拉提出了一个 著名的欧拉猜想——不存在 n=4k+2阶的正交拉丁方，直到 1900年法国的塔利证明了欧拉猜想n=6对 是正确的，到 1960年印度数学家玻色等证明了对于2和6以外的其他舭+2型数欧拉猜想都不正确． 2 拉丁方和正交拉丁方的应用 拉丁方的应用起始于20世纪早期，它首先被人们作为平衡非完整块设计应用在统计分析中，拉丁方 在实际应用中非常广泛．其中一个很重要的应用是合理安排实验．例如，1，2，3，4这4种品牌的汽车轮胎磨 损测试，若动用编号为A，B，C，D的4辆小汽车参加试验，由于同一牌子的轮胎在不同部位，不同车的磨损 程度有差别，为了使试验次数少且均衡，可以安排如下 ： A C D _ 】 2 3 4 左前 2 1 4 3 左后 3 4 1 2 右前 4 3 2 1 右后 A B C D 如果 同时要考虑4种不同牌子 的刹车车闸对车胎的磨损， 4 1 2 3 左前 则还要求 4种车闸在4辆车及 4个不 同位置各 出现一次．当然 3 2 1 4 左后 还要求不 同牌子的轮胎和车闸恰好配合一次．车闸的实验安排 l 4 3 2 右前 如右 ： 2 3 4 1 右岳 上述两个矩阵为正交的拉丁方 ，则车轮与车闸的配合试验 收稿 日期：2010—10—20 作者简介 ：刘秀梅 (1982一)，女，助教 ，福建南平人 ，现从事 ：应用数学研究 E—m