谈“椭圆、双曲线标准方程39;39;推导过程中教育价值的开发.pdfVIP

· 36 · 中学教研 (数学) 谈 “椭 圆、双 曲线标准方程 ’’推 导过程 中教 育价值 的开发 ●陈立军 (江宁高级中学 江苏南京 211100) 建立曲线方程和通过方程研究曲线的性质是 的两边，并使其中一边只有一项，再两边平方，整理 解析几何的2个基本问题．因此，椭圆、双曲线标准 后化为方程只含一个根式，即为(1)．(1)是学生已 方程的推导理应是课堂教学的重点，但当前的课堂 有技能的总结，(2)体现了化归的思想(化生为熟、 教学中仍存在淡化、简化方程推导过程的教学行 化繁为简)，但是没有讲清楚 “为什么”． 为，有的教师甚至假托圆锥曲线是高考中的热点、 其实，对根式 难点之名压缩方程过程的推导时间，盲 目地把大量 ~／(+c)+ +~／(—c)+y2=2a 的教学时间用于方程的求解．其实，综观近几年高 的化简有多种方法(课堂上学生的反应也确实如 考对圆锥曲线的考查，求方程多是解答题的第 (1) 此)，每一种方法不仅仅是公式法则的堆砌、形式 小题，难度不大．难度主要体现在第 (2)小题、第 的演绎，也揭示了数学形式化背后生动活泼的思维 (3)小题，重点考查学生综合运用数学知识分析问 过程．教师应充分尊重学生的创造性劳动，哪怕仅 题、解决问题的能力．对于椭圆、双 曲线的标准方 是一个好的 “念头”，鼓励学生大胆地尝试各种方 程，从结果即方程的表现形式上看，充分体现了数 法，并帮助学生提炼出方法背后的 “道理”，加深学 学的简洁美，但其推导过程更蕴含着丰富的教育价 生对数学本质的深度理解． 值．教学实际中，如果我们能钻得深一点、想得透一 1．1 不同方法的简述 些，精心设计教学流程，便可以很好地开发椭圆、双 方法 1 对 曲线标准方程推导过程的教育价值，从而有效提升 J(x+c)+’，2+J(x—c)+ =2口 学生的数学学习能力． 直接平方，这是课堂上学生的首选．但因为运算比 1 方程的推导过程可以提高学生对算理的认识 较繁琐，很多教师舍弃了．即使有学生坚持，教师通 解析几何因对学生的运算要求比较高，学生时 常也以这种方法运算太繁了，打断了学生的回答， 有畏难情绪，这也是制约学生解题能力提升的一个 中止了学生的尝试．如果坚持走下去，此法 “道路 重要原因．从根本上说，运算能力提高的关键是算 虽曲折”，但 “前途是光明的”．略解如下．由 理的提升．经过建立直角坐标系、设点坐标、列出等 ~／(+c)+Y+~／(一c)+Y=2a 式、代人坐标的过程后，椭圆标准方程的推导难点 是对复杂根式 甘 (+c)+(一c)+2 +2~／(+c)+ · J(x—c、+y2=4a + =2a (1) 的化简．由于初中阶段没有详细介绍含有2个根式 铮 J(x+c)+y ·J(x—c)+Y= 的化简，因此教学时应详细给出化简过程，教材中 2a一( + +c) 也列出了常见化简方法的详细步骤．即将方程 (1) 铮 [(+C)+ ]．[(—C)+Y]= 移项后两边平方，整理可得