简明推导“三角拉格朗日点”的新方法.pdfVIP

V01．34No．5 物 理 教 师 第34卷第5期 (2013) PHYSICSTEACHER 2013年 ·_o 简明推导 “三角拉JIJJ‘格朗日点的新方法 胡先进1 李 力2 (1．重庆实验中学，重庆401320；2．重庆清华中学，重庆400054) 任何两个大质量天体系统，因万有引力作用而相互绕 心()以同样的角运厦作匀逯圆周运动，这样才能与两个大 行，在它们的轨道平面上，存在着一些特殊的点．当在这些 质量天体保持相对位置不变． 点引入小质量天体时，小质量天体受到两个大质量天体引 文献[2]对“三角拉格朗日点”进行了理论验算，证明 力的合力，恰好等于它与两个大质量天体一起转动需要的 了k、L；中任一个与两个大质量天体正好构成一个等边 向心力．这意味着，小质量天体在这些点上，能保持与两个 三角形．笔者读后感到数学推导过于繁琐，本文借助向量 大质量天体的相对位置始终不变． 代数，将给出一个导出“三角拉格朗日点”的简捷方法． 1767年，欧拉求出了这样的3个点，记为L。，L2，L3， 它们都在两大质量天体的连线上．1772年，拉格拉日又找 和棚之间距离为n。分别位和棚篡之套雾苎篇鬈 x以 到了另外的2个点，记为L4，Ls，它们在两大质量天体连线于o。，02，质心在。点．设 ／：夕7 ＼ 之外，这2点关于两大质量 ． L是拉格朗日点，则在此处 ／77／ ＼ 天体的连线是对称的，它们 ／7一、繁 的小质量天体棚。，必在M彬／7／／ ＼ 中的任一点与两大质量天 ／ ／＼! 和m引力作用下，绕质心。西一苫…………t用 体正好构成一个等边三角 2f ，：；2 竺甓字_。氅翌周差卜-一口—一 形(如图1)．后来，人们习惯 ＼ 膨＼ L∥用 动，其中m也是M和m绕 上把这5个点统称为“拉格 ＼ ＼∥7 质心0作匀速圆周运动的 图2 朗日点”，其中拉格拉日找 、～／三5 角速度，对M、m用万有引力定律和牛顿第二定律不难 到的那两点又叫“三角拉格 图1 得到‘2] 朗日点”． ∥一鱼!丝士型． t1’(1) ∥一—‘广一· 必须明确，位于拉格朗日点的小质量天体远远小于两 个大质量天体，所以不考虑小质量天体的反作用对两个大 对小质量天体m。写出牛顿第二定律号等蔚+ 质量天体运动的影响．同时，除两个大质量天体外，也不考 虑其他天体对这个小质量天体的引力作用，即位于拉格朗 老孑窳一m。∥茄．将(1)式代入，化简得 日点的小质量天体的运动完全由两个大质量天体的引力 决定． 淼吼+南乱一字芘 上述求解拉格朗日点的问题，是一个典型的“平面圆 净盎(况一两)+盎(况一商)一字况 型限制性三体问题”．众所周知，两个天体在相互引力作用 下如何运动的所谓“二体问题”，早已获得精确而完美的解 寺(抬+盎一字)碗=抬两+≥I面十面一丁J眦2面吣十 答．而“三体问题”，则是近300年来数学物理中一直未能 彻底解决的难题．19世纪末，法国大数学家庞加莱采用美 南碱 国数学家希尔提出的简化模型：“假定有两个天体，它们在 万有引力作用下，围绕共同质心，沿着椭圆形的轨道，作严