有关一类线性矩阵方程的对称解ξ.pdfVIP

第 15 卷　第 3 期 工　程　数　学　学　报 V o l. 15 N o. 3 1998 年 8 月 A ug. 1998 JOU RNAL O F EN G IN EER IN G M A TH EM A T ICS 关于一类线性矩阵方程的对称解 袁永新 (华东船舶工业学院基础学科系, 江苏镇江 212003) 摘　要 从一类线性矩阵方程的可解性出发给出了线性矩阵方程AXB = D 具有对称解的充要条件及通解的 显式表示。 关键词 　 矩阵方程, 广义逆, 对称解 分类号 　AM S ( 1991) 15A 09, 15A 24; 　　　　CCL O 151. 21　　　　 1　引　言 自从1987 年D on F J H 运用广义逆的手段给出了矩阵方程AX = B 的对称解后, 一些 数学工作者就开始对矩阵方程A XB = D , X T = X 进行研究, 见文[4～ 6 ], 但它们都没有较 完全地给出一般解的显式表示。本文首先从另一线性矩阵方程的可解性问题出发, 很自然地 给出了A XB = D 具有对称解的充要条件及通解的显式表示。 本文中的矩阵及向量都是实的, 用 A - 表示矩阵 A 的一个 g 逆,A + 表示 A 的 M oo reP en ro se 广义逆, 两个特殊的记号是 E T = I - TT+ , F T = I - T+ T , 其中 I 为单位矩 阵, T 为任意矩阵。其它的记号基本上同文献[1 ]。另外,A B 表示A 与B 的K ron eck er 积, ( ) ( ) T T T T 即A B = a B , vec A 表示矩阵A 的 按行 拉直, 即若A = [ a , a , …, a ] , 其中 a 为 ij 1 2 m i A 的行向量, 则 vec A = (a a …a ) T 。 1 2 m 2　几个引理 引理 1. 1[ 1 ]　vec ( B C) ( CT ) ec B 。 A = A v 引理 1. 2[ 1 ]　矩阵方程AX = B 有解的充要条件是 　　AA - B = B ( 1) ( ) 当条件 1 满足时, 该方程的通解为 　　X = A - B + ( I - A - A )W , (W 为任意矩阵) 2 2 引理 1. 3[ 2 ]　设X ∈Rn ×n , 则存在一个对称正交的置换矩阵P ∈Rn ×n , 使得P vec X = 本文 1996 年 7 月 23 日收到。