福建省长泰一中高考数学一轮复习《抛物线》学案.docVIP

福建省长泰一中高考数学一轮复习《抛物线》学案 3．抛物线的几何性质：对进行讨论． ① 点的范围： 、 ． ② 对称性：抛物线关于 轴对称． ③ 离心率 ． ④ 焦半径公式：设F是抛物线的焦点，是抛物线上一点，则 ． ⑤ 焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦) i) 若，，则＝ ， ． ii) 若AB所在直线的倾斜角为(则＝ ． 特别地，当时，AB为抛物线的通径，且＝ ． iii) S△AOB＝ （表示成P与θ的关系式）． iv) 为定值，且等于 ． 例1. 已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点到焦点的距离为5，求抛物线的方程和n的值． 解：设抛物线方程为，则焦点是F ∵点A(－3，n)在抛物线上，且| AF |＝5 故解得P＝4， 解(1)解法一： 设直线的方程为： 代入整理得， 设 则是上述关于的方程的两个不同实根，所以 根据抛物线的定义知：| AB |＝ ＝ 若，则 即直线有两条，其方程分别为： 解法二：由抛物线的焦点弦长公式 |AB|＝(θ为AB的倾斜角)易知sinθ＝±， 即直线AB的斜率k＝tanθ＝±， 故所求直线方程为： 或. (2) 由(1)知， 当且仅当时，|AB|有最小值4． 解法二：由(1)知|AB|＝＝ ∴ |AB|min＝4 (此时sinθ＝1，θ＝90°) 变式训练2：过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ ） A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无数条 D．不存在 解B 例3. 若A(3，2)，F为抛物线的焦点，P为抛物线上任意一点，求的最小值及取得最小值时的P的坐标． 解：抛物线的准线方程为 过P作PQ垂直于准线于Q点，由抛物线定义得|PQ|＝| PF |，∴| PF |＋| PA |＝| PA |＋| PQ | 要使| PA |＋| PQ |最小，A、P、Q三点必共线，即AQ垂直于准线，AQ与抛物线的交点为P点 从而|PA|＋|PF|的最小值为 此时P的坐标为(2，2) 变式训练3：一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2，在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是 。 解 例4. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直平分线． (1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论？ (2)当直线l的斜率为2时，求在y轴上的截距的取值范围． 解：(1)F∈l|FA|＝|FB|A、B两点到抛物线的准线的距离相等． ∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1≥0，y2≥0，依题意y1，y2不同时为0．∴上述条件等价于 y1＝y2(x1＋x2)(x1－x2)＝0 ∵x1≠x2 ∴x1＋x2＝0 即当且仅当x1＋x2＝0时，l过抛物线的焦点F． (2)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y＝2x＋b，过点A、B的直线方程可写为y＝－x＋m 所以x1、x2满足方程：2x2＋x－m＝0 且x1＋x2＝－，由于A、B为抛物线上不同的两点，所以△＝＋8m＞0，即m＞－ 设AB之中点为N(x0，y0)，则x0＝ y0＝－x0＋m＝＋m 由N∈l得：＋m＝－＋b 于是b＝＋m＞－＝ 即l在y轴上截距的取值范围是(，＋) 变式训练4：正方形ABCD中，一条边AB在直线y＝x＋4上，另外两顶点C、D在抛物线y2＝x上，求正方形的面积． 设C、D的坐标分别为(y12，y1)，(y22，y2)( y1 y2)，则直线CD的斜率为1． ∴ ＝＝1，即y1＋y2＝1 ① 又| CD |＝＝ ＝(y1－y2) | BC |＝(y12－y1＋4恒正) 由| CD |＝| BC |，有(y1－y2)＝ ② 解①、② 得 y1＝2或y1＝3 当y1＝2时，有| BC |＝3，此时SABCD＝18 当y1＝3时，有| BC |＝5，此时SABCD＝50 ∴ 正方形的面积为18或50． 1．求抛物线方程要注意顶点位置和开口方向，以便准确设出方程，然后用待定系数法． 2．利用好抛物线定义，进行求线段和的最小值问题的转化． 3．涉及抛物线的弦的中点和弦长等问题要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算． 4、解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，应注意焦点弦的几何性质． 3 基础过关 典型例题 小结归纳