北京四中高中数学 正弦函数、余弦函数的图象基础知识讲解 新人教A版必修1.docVIP

正弦函数、余弦函数的图象 【学习目标】 1.了解作正弦函数、余弦函数图象的三种方法； 2.掌握三角函数图象的作用，会用“五点法”作出正弦函数和余弦函数的图象。 【要点梳理】 要点一：正弦函数、余弦函数图象的画法 1．描点法： 按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法。 2．几何法 利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在内的图象，再通过平移得到和的图象。 3．五点法 先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是 要点诠释： （1）熟记正弦函数、余弦函数图象起关键作用的五点。 （2）若，可先作出正弦函数、余弦函数在上的图象，然后通过左、右平移可得到和的图象。 （3）由诱导公式，故的图象也可以将的图象上所有点向左平移个单位长度得到。 要点二：正弦曲线、余弦曲线 （1）定义：正弦函数和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线。 （2）图象 要点诠释： （1）由正弦曲线和余弦曲线可以研究正弦函数、余弦函数的性质。 （2）运用数形结合的思想研究与正弦函数、余弦函数有关的问题，如，方程根的个数。 要点三：函数图象的变换 图象变换就是以正弦函数、余弦函数的图象为基础通过对称、平移而得到。 【典型例题】 类型一：“五点法”作正、余弦函数的图象 例1．用五点法作出下列函数的图象。 （1），； （2），。 【思路点拨】（1）取上五个关键的点（0，2）、（，1）、、、（2，2）。（2）取上五个关键的点。 【解析】 （1）找出五点，列表如下： x 0 0 1 0 －1 0 y=2－u 2 1 2 3 2 描点作图（如下图）。 （2）找出五点，列表如下： 0 x y=cos u 1 0 －1 0 1 描点作图（如下图）。 【总结升华】 在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，即可得到函数的简图，这种近似的“五点法”是非常实用的。 举一反三： 【变式1】用“五点法”作出下列函数的简图： （1）y=－sin x（0≤x≤2π）；（2）y=1+cos x（0≤x≤2π） 【解析】 （1）列表： x 0 sin x 0 1 0 －1 0 －sin x 0 －1 0 1 0 描点作图，如图（1）： （2）列表： x 0 cos x 1 0 －1 0 1 1+cos x 2 1 0 1 2 描点作图，如图（2）。 类型二：利用图象变换作出函数的图象 例2．（1）作函数的图象； （2）作函数的图象。 【思路点拨】（1）要善于利用函数的图象来作及的图象。 （2）函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，因此作出函数的图象后，要把x=kπ（k∈Z）对应的点去掉。 【解析】 （1）将化为，其图象如下图。 （2）当，即x≠kπ（k∈Z）时，有，即（x≠kπ，k∈Z）。其图象如下图。 【总结升华】 函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换，一般地，函数的图象与的图象关于y轴对称，与的图象关于x轴对称，和图象与的图象关于原点对称，的图象关于y轴对称。 举一反三： 【变式1】利用图象变换作出下列函数的简图：。 【解析】 先作出的图象，然后利用对称作出的图象，最后向上平移1个单位即可，如下图。 类型三：利用函数图象解简单的三角不等式 例3．画出正弦函数（x∈R）的简图，并根据图象写出： （1）时x的集合； （2）时x的集合。 【思路点拨】用“五点法”作出y=sin x的简图。 【解析】 （1）过点作x轴的平行线，从图象中看出：在[0，2π]区间与正弦曲线交于、两点，在[0，2π]区间内，时x的集合为。当x∈R时，若，则x的集合为。 （2）过、两点分别作x轴的平行线，从图象中看出：在[0，2π]区间，它们分别与正弦曲线交于，点和，点，那么当时，x的集合为 或 。 【总结升华】利用三角函数的图象或三角函数线，都可解简单的不等式，但需注意解的完整性，此外数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的数学式子转化为形象直观的图象，平时解题时要灵活运用。 举一反三： 【变式1】已知，解不等式。 【解析】画出函数y=sin x，的图象，画出函数的图象，如下图，两函数的图象交于A、B两点，其中，，故满足的x的取值范围是。 类型四：三角函数图象的应用 例4．（1）方程的解的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 （2）若，则与