关于不等式证明的探讨（本科毕业论文）.pdfVIP

关于不等式证明的探讨 数学系 数学与应用数学专业 0305403006 姓名：范志远 指导老师：刘安 摘 要 不等式在中学数学中占有很重要的地位，本文提出八种常用的方法，并指出每一种方法 的适应类型、解决问题的关键和证明问题的具体步骤，最后结合实例说明方法的可用性。 关键词 不等式 极值 单调性 凸性 微分中值定理 引 言 不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间很重要的一种关 系。不等式的种类繁多，证明的方法难易悬殊，使用技巧各异，目前国内外有关资料和论文已介绍 诸多证明不等式的常用方法。如：利用基本不等式、利用函数单调性、利用函数极值与最值、利用 微积分中值定理等。不等式的证明问题，由于题设形式及结论的表达方式的不同，从而导致证明思 路、方法也不尽相同。论证不等式的方法很多，寻求不等式证明的方法是我们证明不等式的关键， 不等式的证明是有规律可循的。本文根据它的规律，介绍公式法、换元法、放缩法、构造法、函数 极值与最值法、函数的单调性法、函数的凸性法、微分中值定理法共八种方法，以起到抛砖引玉的 作用。 1、公式法：公式法是利用基本不等式来证明不等式的方法。 1．1 经验不等式——“糖水浓度问题” b b+ m  例 1 若 a、b、m 都是正数，且 ba,则 a a+ m b  证明：若以 a 表示糖水，b 表示糖，则  表示糖水的浓度，现在加糖 m，糖水变甜， a  浓度增大，因此，原不等式得证。 推广： “用两杯不同浓度的糖水混合起来”可以解释以下不等式： 若 a c  ，则： a a+ c c  。 b d b b+ d d £  1．2 排序不等式：设 a a £ a £ L £ a  , b £ b £ L £ b 则有:  1  2  3  n  1  2  n  ab +ab + L+ab (倒序积和) 1 n 2 n-1 n  1  £  ab + ab + Lab (乱序积和) 1 r 2  r n r  1 2  n  £  ab + ab + Lab (顺序积和) 1 1 2 2  n n  1  (其中 r,r , Lr 是 1,2，…n 的一个排列) 1 2  n  例 2 设 b,b ,Lb 是 a ,a ,La (a 0) 的一个排列. 1 2 n 1 2  n i  a a  a  求证:  1 + 2  + L + n  n  b b b 1 2  n  证明: 设 b