基于控制顶点偏移的等距曲线最优逼近195;.pdfVIP

1000-9825/2002/13(03)0398-06 ©2002 Journal of Software 软 件 学 报 Vol.13, No.3 基于控制顶点偏移的等距曲线最优逼近 刘利刚, 王国瑾 (浙江大学 CADCG 国家重点实验室,浙江 杭州 310027); (浙江大学 计算机图像图形研究所,浙江 杭州 310027) E-mail: ligang_liu@; wgj@ 摘要: 利用最佳平方逼近的 Legendre 多项式来逼近基曲线的法矢曲线,计算出各控制顶点的偏移向量, 由此产 生偏移控制多边形来得到等距曲线的逼近曲线.通过与Tiller,Cobb,Coquillart 和Elber 等多种基于控制顶点偏移 的等距逼近法的比较,表明此方法中曲线的离散次数和控制顶点数最少.此方法简单、直观, 而且等距逼近曲线 的表达式与原曲线具有相同形式, 因而有很好的应用前景. 关 键 词: 几何造型;等距曲线; 曲线逼近;顶点偏移;Legendre 多项式 中图法分类号: TP391 文献标识码: A 曲线曲面的等距计算(offsetting)是CAD/CAM 系统中的一个重要几何运算,在数控加工、道路设计、汽车 车身设计等工业领域中有着广泛的应用, 因而受到众多学者的重视[1,2].其中等距曲线是等距问题中的基本问 题,研究文献非常丰富.然而,等距运算是一个非常困难的几何运算,与基曲线曲面相比,等距曲线曲面形式复杂, 具有非常高的代数次数,此外还有许多实际应用问题需要解决. 对于平面正则参数曲线 C(t)=(x (t),y (t)),它的有向距离为 d 的一条等距曲线可以表示为 Cd (t)=C(t)+d ·N(t), 其中 ′ ′ ′ 2 ′ 2 N (t) (−y (t), x (t)) x (t) +y (t) 为C(t) 的单位法向量. 由于法向量的分母中出现根式,NURBS 曲线的 等距曲线一般不再是NURBS 曲线, 因而不能由常用的CAD/CAM 系统来有效地处理.为此,用简单曲线去逼近 等距曲线是首选的一个有效办法. [3] [4~7] 等距曲线的逼近方法主要有以下 3 种类型 :(1) 偏移控制顶点的方法 .其基本思想是直接偏移基曲线 [8~12] [8] 的控制顶点,然后用偏移得到的控制多边形构作逼近基曲线的等距曲线.(2) 插值拟合方法 .例如:Klass 和 Hoschek[9]利用三次Hermite 曲线来逼近等距曲线;Pham[10]利用等距曲线上的采样点插值,反求三次B 样条逼近 曲线的控制顶点;Elber 和Cohen[11]利用NURBS 曲线的和与积来表示误差函数,在最大误差值处离散曲线;Peigl 和Tiller[12]首先判断基曲线上的直线段或圆弧段部分,然后根据曲率大小对其他曲线段部分的等距曲线采样,再 [13] 利用NURBS 曲线插值.(3) 包络方法.Lee 等人 用二次Bézier 曲线逼近圆周,然后将此逼近曲线沿基曲线扫掠 所得的包络线作为等距逼近曲线. 为保持造型系统的数据结构和几何算法的统一性,等距逼近曲线常用与基曲线同类型的曲线来逼近.在以 上3 类逼近方法中,基于控制顶点偏移的方法简单、直观,几何意义明显,逼近曲线的表达式与原曲线形式相同. 但迄今为止, 国际上此类方法都不具备有效的手段来控制误差.本文从分析此类方法的误差出发,建立了基曲线 [4~7] 法矢曲线的最佳平方逼近,进而偏移基曲线的控制多边形使逼近误差达到最小.通过与各种方法 的反复试 收稿日期: 2000-06-19; 修改日期: 2000-08-27 基金项目: 国家自然科学基金资助项目; 国家重点基