均布载荷作用的简支梁中心线横向位移和梁的高长比的关系.docVIP

均布载荷作用的简支梁中心线横向位移和梁的高长比的关系 谢周时（交通学院02力学 029号） 摘要：简支梁的高长比（h/l）涉及到材料力学细长杆的假设能否成立问题，材料力学指出高长比小于1/5时，剪力对弯曲正应力的分布规律影响才可忽略，根据材料力学求解的挠度位移才比较正确。本文试图用三维有限元方法来检验材料力学这一重要假定。并根据分析结果提出了在高长比小于1/6时，材料力学求解的挠度位移与真实解会小于10%。 关键词：简支梁 横向位移 弹性理论 圣维南原理 求解问题 长度为l，高度为h的简支梁受均布载荷作用，求中心线的横向位移和梁的高长比h/l的关系，并考察中心线上不同位置的横向位移随h/l的关系。从中归纳出材料力学解满足的条件和如何理解圣维南原理。图形如下： 图1 简支梁 2求解方案 因为简支梁属于静定结构，静力荷载，故而不考虑惯性和阻尼的影响。求解步骤可分为4个： 建立模型和划分网格 添加荷载和约束 求解 后处理 本题的模型是简支梁，中心线的横向位移和梁的高长比h/l的关系，因此Ansys分析中采用的是SOLID45单元。单元划分示意图如下： 图2 简支梁单元划分 3 边界条件 本问题的边界条件为： ； 4 计算参数说明 材料属性：弹性模量E=2.061011 （Pa），泊松比v=0.3 。 简支梁的计算参数：梁长l=0.1m，截面b=0.02m ，h变化范围0.01～0.05。 均布荷载：在h=0.01m时，q=15kN/m，并q随之h3的变化而变化，这样设计的目的是在材料力学的细长杆的假定下，杆的挠度保持不变。 5 Ansys计算结果 图3 受均布荷载的简支梁弯曲图 6 理论解 根据材料力学的解，简支梁中心的横向位移： 由上式可知，当均布荷载q与梁高h3成正比时，梁的挠度保持不变。根据给定的计算参数，梁的最大挠度： 取不同的高度所得到的理论解与Ansys计算结果之间的比较如下表。 表1 理论解与Ansys计算结果之间的比较 b(m) l(m) h(m) q(N/m2) h/l ymax(m，理论值) ymax(m，数值解) 相对误差 0.02 0.15 0.01 1500 0.067 5.717E-07 5.732E-07 0.26% 0.02 0.15 0.02 12000 0.133 5.717E-07 6.050E-07 5.8% 0.02 0.15 0.03 40500 0.200 5.717E-07 6.530E-07 14.2% 0.02 0.15 0.04 96000 0.267 5.717E-07 7.210E-07 26.1% 0.02 0.15 0.05 187500 0.333 5.717E-07 7.960E-07 39.2% 由上表可以知道：当截面高度不断增大时，按材料力学理论得到的解与用Ansys三维求解的误差越来越大。按照材料力学的细长杆的定义h/l=0.2，在0.2时，材料力学假设的理论接和真实解之间的误差也达到14.2%，要使得材料力学理论解的误差小于10%，那么h/l最后小于1/6。 图4 理论解与Ansys解的比较 图5 相对误差随h/l的变化 7 结论 综合上述，可知在材料力学中，剪支梁的h/l比必须要满足小于1/6时才能得到精度较好的结果，当梁高与梁长比较接近时，运用材料力学得到的解将产生较大的误差。 8 命令行文件 /CLEAR ! 清空数据库 /FILNAME,Tower ! 定义当前工程文件名 finish /prep7 /TITLE,3d analysis Tower ! 取标题名称,显示在图形窗口底部 /PNUM,kP,1 h=0.05 q=187500 k,1, 0, -h/2,0 k,2, 0.15, -h/2,0 k,3, 0.15, h/2,0 k,4, 0, h/2,0 k,11, 0, -h/2,0.02 k,12, 0.15, -h/2,0.02 k,13, 0.15, h/2,0.02 k,14, 0, h/2,0.02 !a, 1,2,3,4,5,6 v, 1,2,3,4,11,12,13,14 mp,ex,1,207e9 ! mp,nuxy,1,0.3 ET,1,SOLID45 ! 定义单元SOLID45 LESIZE,all,0.001, , , , , , ,1 !线的布点尺寸 !* ESIZE,0