高一数学中一处需要强化的知识点.docVIP

三角函数教学中需要强化的一个知识点 金台区教研室 吴晓英 ＋型三角函数的变形及其应用问题，是近年高考命题的热点之一，但是，由于此类问题在教材中没有集中出现，所以有必要在教学中予以加强. 1 近两年高考中该知识点的出现情况 2006年和2006年全国各地高考试题中至少有12道与该知识点有关，大致可以分为以下三种类型： 1.1 直接转化型 利用两角和正（余）弦公式，将＋直接转化为或. 题1 （06年天津）已知函数（、为常数，）在处取得最小值，则函数是( ) （A）偶函数且它的图像关于点对称 （B）偶函数且它的图像关于点对称 （C）奇函数且它的图像关于点对称 （D）奇函数且它的图像关于点对称 题2 （05全国卷ⅱ）函数的最小正周期是（ ） （A） （B） （C） （D）2 题3 （05湖北）若，，则 （A） （B） （C） （D） 1.2 三角综合型 一般利用倍角的余弦公式、同角三角函数关系式以及诱导公式等，对所给函数进行变形，将其转化为＋型三角函数问题，这类问题出现的频率最高； 题4（06年陕西） 已知函数 （） （ⅰ） 求函数的最小正周期； （ⅱ） 求使函数取得最大值的的集合. 题5（06年上海） 求函数的值域和最小正周期. 题6（06广东）已知函数，. （ⅰ）求函数的最小正周期；（ⅱ）求函数的最大值和最小值；(ⅲ)若＝，求的值. 题7 （06重庆）设函数 （其中，，且的图像在轴右侧的第一个最高点的横坐标为. （ⅰ）求的值； （ⅱ）如果在区间上的最小值为，求的值. 题8（06福建）已知函数， （ⅰ） 求函数的最小正周期和单调增区间； （ⅱ）函数的图像可以由函数（）的图像经过怎样的变换得到？ 题9 （06辽宁）已知函数，. 求： （ⅰ）函数的最大值及取得最大值的的集合；（ⅱ）函数的单调增区间. 1.3 三角与向量综合型 一般利用向量知识将所给问题转化为＋型三角函数问题，这一类问题由于体现了“在知识交汇点上命题”的要求，往往难度不大，但背景新颖，在考试时会给学生带来一定困惑，所以也必须引起关注. 题10 （06全国卷ⅱ）已知向量，,. （ⅰ）若，求；（ⅱ）求的最大值. 题11 （06湖北）设函数·（+），其中向量， ，，. （ⅰ） 求函数的最大值和最小正周期；（ⅱ）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的. 题12 （05山东）已知向量和，且，求的值. 以上12道题， 从考查的知识上分析，几乎覆盖了三角函数所有重要的性质，如周期、奇偶性、最值、单调性、图像变换等；同时对两角和（差）的正余弦公式、倍角公式进行了全面考查，并且与向量综合在一起，考查了向量的加法、向量的模、向量的数量积等知识点. 从考查的计算技巧上分析，主要有角的变换、降幂、特殊角的三角函数值、估算等等.从考查的数学思想方法分析，重点是化归思想，包括了把未知化归为已知，把特殊化为一般，等价化归等三个方面。 2 教材中该知识点的出现情况 教材在练习、习题、复习参考题中都出现了与该知识点有关的题目，并且难度、综合程度不断增加. 从题型上看，大致可以分为证明题、化简题、综合题三种类型. 2.1 证明题 在“4.6 两角和与差的正弦、余弦、正切”一节的练习题和习题中，有四道证明题. 练习中的两道题为 求证：（1）； （2）. 习题4.6第7题中两道证明题为： （1）； （2）； 这四道题的类型与难度基本相当，解题中要求熟练掌握两角和（差）的正（余）弦公式，以及特殊角的三角函数值. 显然，这四道题如果从右向左证明，属于直接使用两角和与差的正弦、余弦公式，达不到逆用两角和与差的正弦、余弦公式化简＋型三角函数的目的. 2.2 化简题 在习题4.6第8题中有五道利用和（差）角公式化简题. 分别是： (1) ； （2）； （3）； （4）； （5）. 这五道题由易到难，其共同特点是都必须逆用两角和与差的正弦、余弦公式化简＋型三角函数，同时要求熟练掌握特殊角的三角函数值，第（5）题对计算能力要求较高，同时还要求有整体观念，把看成一个整体来考虑问题. 2.3 综合题 在复习参考题四中，有三道综合题与该知识点有关，分别是 A组的27题. 求下列函数的最大值、最小值： （1）， ； （2），. 这两道题基本是一个类型，都是先化简，再求最值，对、、等特殊角的三角函数值、两角和与差的公式以及正（余）弦函数的性质要非常熟悉. B组的13题. 已知函数，，问: (1) 函数的最小正周期是什么？ （2）函数在什么区间上是增函数？ （3）函数的图像可以由函数，的图像经过怎样的变换得出？ 显然，高考题基本上与本题的难度相当，或者说