教育部课题两角差的余弦公式.pptVIP

教育部重点课题新教育子课题 《在高中数学教学中如何达到理想课堂的实践》 温州市瓯海区三溪中学 张明 3.1.1 两角差的余弦公式 探究:当α、β为任意角时，cos(α-β)与α、β的正弦、余弦值的关系 恒成立吗？如果不成立，请说明理由；如果成立，请尝试证明。 答：cos(60°-30°)≠cos60°-cos30° 心得：世界不会是你想象的这么简单，但世界也不是是你想象的这么复杂。把世界想象的太简单，你会狂妄自大。把世界想象的太复杂，你会忧郁。 思考2：如图，设α，β为锐角，且α＞β，角α的终边与单位圆的交点为P1, ∠P1OP＝β，那么cos(α－β)表示哪条线段长？ M P P1 O x y cos(α－β)=OM 思考3：如何用线段分别表示sinβ和cosβ？ P P1 O x y A sinβ cosβ x y P P1 M B O A C + 1 1 思考4：上述推理能说明对任意角α，β，都有 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ成立吗？ B O A x y α β =(cosα,sinα) 思考5：如图，设角α，β的终边与单位圆的交点分别为A、B，则向量 、的坐标分别是什么？其数量积是什么？ α＝2kπ＋β＋θ或β＝2kπ＋α-θ B O A x y α β θ cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ 思考6：向量间的夹角θ与α、β有什么关系？根据数量积定义， 等于什么？由此可得什么结论？ 我们发现代数解法（或向量解法）与几何解法有所优劣。代数解法不知道本质，几何解法可以看出事物的本质。代数解法是垂直但不知道为什么垂直，几何解法却可以知道垂直为什么是垂直。代数解法（或向量解法）好象是天马行空找不到一个坚实的支撑点，空荡荡的？这就是抽象运算。代数解法（或向量解法）解出来了，都不知道为什么会解出来了。因为几何意义被隐藏。 向量加法、减法有几何意义。向量的平行、相交、垂直也有几何意义。所以向量运算也有几何意义。但在运算的时候，几何意义我们没有注意到已经被隐藏起来了。 所以向量运算表面上代数运算，本质上是几何运算既几何证明。但同学们发现没有向量的威力很大，所以向量是一只披着羊皮的狼。向量解决问题有一套统一的模式和程序，技巧性不是很高，有时候就是觉得运算量比较大。这是因为向量把几何证明转化为代数运算。但几何证明技巧性比较高。 （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 向量法有统一的模式，比如 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： 所以向量法的思维发生发展比较容易，但就是运算量大。 2、解题就是思维的发生、发展过程，我们还要知道思维为什么这样发生为什么这样发展。 对于几何法一般因为技巧性很高，所以思维的发生、发展比较难。 思考7：公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ称为差角的余弦公式，记作 ，该公式有什么特点？如何记忆？ 公式特点： （1）任意角 （2）同名积 （3）符号反 分析: 例1.利用差角余弦公式求 的值 思考：你会求 的值吗? Sin15° cos75° 呢？ 例2(1)cos53°cos23°+ sin53° sin23°= _______ ______ 反思：人要学会逆向思维。 例2.已知 求 的值. 解: ∵ ∴ 例3：已知 β是第三象限角,求cos(α－β)的值. 思考题：已知 都是锐角, 分析： 变角: 例6：已知 且 , 求 的值. 例5、已知 求 例4已知 求 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *