3.09级割线法.ppt

* 与(x1, f (x1))作弦（直线），则有方程 , 令y = 0，可解出y 和x轴的交点的横坐标，记为x2 , （割线法、正割法) 上的两点(x0, f (x0)) 设方程f(x)=0在区间[x0, x1]内有单根x* , 1 单点弦法 牛顿切线法的优点 收敛速度快 缺点 计算导数值 f (x)，复杂. 正割法思想方法 用差商替换牛顿公式中的导数 若f (x2)=0，则x*=x2，否则再过(x0, f (x0))和(x2, f (x2))作弦, 弦和x轴 迭代格式 Newton迭代公式 求解方程f(x)=0, 设x*是f(x)=0的精确解. ① 迭代公式的推导 过f(x) 交点的横坐标记为x3， …… 弦截法 问题 从适当的x0、x1 ,由(2)式生成迭代序列 迭代格式 ②几何意义 用过曲线y = f (x) 上点 近似原曲线， x2近似曲线与x轴的交点x*. 并用割线与x 轴交点的横坐标 用过曲线y = f (x) 上点 近似原曲线， 结论 交点x*. 更接近于真解x*. 的割线 从图上可以看出xk+1比xk 并用割线与x 轴交点的横坐标xk+1近似曲线与x轴的 …… , 该方法称为单点弦法. 的割线 例1 求方程x3 –0.2x2 –0.2x – 1.2=0在区间 [1,1.5[内的实根 ( 精确 到 10-3 ). 解 据题意，取x0=1.5, f (x0)=1.425所以有 取x1=1,计算结果如表1所示 . 1 1.15 1.190 1.993 1.198 1.199 1.200 -1.6 -0.173 -0.036 -0.025 -0.007 -0.004 0.000 1 2 3 4 5 6 7 表 1 取x7=1.200作为方程的近似解 . (2)L(x)=0的根作为f(x)=0的新近似根,记为 x*的k+1次近似xk+1, 即 （迭代公式） （1）用f (x)关于xk-1, xk的线性插值函数 近似函数 f(x). 从适当的x0, x1 , 由 (3)式生成迭代序列 , 该方法称为双点弦法. 设xk-1, xk(k0)是两个接近于x*的已知近似值. 2 双点弦法（快速弦法） ① 迭代公式的推导 ② 几何意义 用过曲线 近似原曲线， 结论 近似曲线与x轴的交点 更接近于真解 的割线 上点 从图上可以看出 比 并用割线与x轴的交点 注 可以在 的同侧,也可以在 的两侧，不管怎样， 都比 更接近于真解 例2 用双点弦法解方程x = e-x在0.5附近的根. 解 取初值 x0=0.5, x1=0.6计算结果如表2所示 . 0.5 0.6 0.565315 0.56095 0.567143 0 1 2 3 4 表 2 与牛顿切线法 计算结果比较, 稍慢一些 当 时 位于包含 的最小区间内. 另外 由插值多项式余项 证明 定理1 (局部收敛定理) 则存在 只要 由正割法产生的序列 收敛于 而且有 若f(x)在真解 邻近二次连续可导,且 ③ 收敛性 ，有 （双点弦法） 续可导，因此，对(5)式取极限,即得(4)式. ＃ 即 当 ,由 取 得 , 从而 任取 连续,存在 (上界） 微分中 值定理 又f(x)在 邻近二次连 2. 正割法通常具有收敛阶 . 事实上, 若正割法收敛,则k充分大时， (5)中的 则有 代入 则有 下确定收敛阶p，设 即 注 , 因此这类收敛定理称为局部收敛定理. 1. 定理9中先假设 的解 存在，同时要求初始 充分接近 近似解 ＃ 取极限，得 再由 其中 3 抛物线法 ① 迭代公式的推导 （二次插值） 由数据点 ，构造抛物线 二阶差商 一阶差商 牛顿插值 次近似 次近似， 构造 用p(x)近似f(x), 取P(x)=0， 为f(x)=0的改进近似根. 考虑 的最小值， 变形(a)式(插项),于是, 较靠近xk的xk+1 则有 且有 可得 ② 局部收敛定理 只要 抛物线法产生的迭代序列 收敛于 且有 设f(x)在 则存在 附近3次连续可导， 继续以上过程, 这种生成迭代序列 的求根算法称为抛物线法. 定理2 可由( 7 ) 式迭代求更接近 的近似解 . *