高考数学前三题专项训练试题及答案（4－6）.docVIP

前三题练习（4） 1．(本小题满分13分) 已知向量＝, ＝, ＝. （Ⅰ）若，求向量、的夹角； （Ⅱ）当时，求函数的最大值. 2．(本小题满分13分) 已知袋中装有大小相同的2个白球和4个红球. (Ⅰ)从袋中随机地将球逐个取出，每次取后不放回，直到取出两个红球为止，求取球次数的数学期望； (Ⅱ)从袋中随机地取出一个球，放回后再随机地取出一个球，这样连续取4次球，求共取得红球次数的方差. 3． (本小题满分13分) 如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝，M为BC的中点. (Ⅰ)证明：AM⊥PM； (Ⅱ)求二面角P－AM－D的大小； (Ⅲ)求点D到平面AMP的距离. 前三题练习（4）答案 1．(本小题满分13分) 已知向量＝, ＝, ＝. （Ⅰ）若，求向量、的夹角； （Ⅱ）当时，求函数的最大值. 解: （Ⅰ）当时， …………………2分 ……………………………3分 ……………………………4分 ∵ ∴ …………………………6分 （Ⅱ） ……………………8分 …………………………10分 ∵ ∴，故 ………………………11分 ∴当,即时, ………………………13分 12．(本小题满分13分) 已知袋中装有大小相同的2个白球和4个红球. (Ⅰ)从袋中随机地将球逐个取出，每次取后不放回，直到取出两个红球为止，求取球次数的数学期望； (Ⅱ)从袋中随机地取出一个球，放回后再随机地取出一个球，这样连续取4次球，求共取得红球次数的方差. 解：(Ⅰ) 依题意，的可能取值为2,3，4 ……………………………1分 ； ……………………………3分 ； ……………………………5分 ； ……………………………7分 ∴ . 故取球次数的数学期望为 …………………………8分 (Ⅱ) 依题意，连续摸4次球可视作4次独立重复试验，且每次摸得红球的概率均为，则 ……………………………10分 ∴. 故共取得红球次数的方差为 ……………………………13分 13． (本小题满分13分) 如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC＝，M为BC的中点. (Ⅰ)证明：AM⊥PM； (Ⅱ)求二面角P－AM－D的大小； (Ⅲ)求点D到平面AMP的距离. 解法1：(Ⅰ) 取CD的中点E，连结PE、EM、EA ∵△PCD为正三角形 ∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°= ∵平面PCD⊥平面ABCD ∴PE⊥平面ABCD …………………3分 ∵四边形ABCD是矩形 ∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形 由勾股定理可求得 EM=，AM=，AE=3 ∴……………………………5分 ∴∠AME=90° ∴AM⊥PM ……………………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知EM⊥AM，PM⊥AM ∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角……………………………8分 ∴tan ∠PME= ∴∠PME=45° ∴二面角P－AM－D为45°； ……………………………10分 (Ⅲ)设D点到平面PAM的距离为，连结DM，则 ……………………………11分 ∴ 而 在中，由勾股定理可求得PM=. , 所以：, ∴. 即点D到平面PAM的距离为.……………………………13分 解法2：(Ⅰ) ∵四边形ABCD是矩形 ∴BC⊥CD ∵平面PCD⊥平面ABCD ∴BC⊥平面PCD……………………………2分 而PC平面PCD ∴BC⊥PC 同理AD⊥PD 在Rt△PCM中，PM= 同理可求PA=，AM= ∴…………………………5分 ∴∠PMA=90° 即PM⊥AM ……………………6分 (Ⅱ)取CD的中点E，连结PE、EM ∵△PCD为正三角形 ∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°= ∵平面PCD⊥平面ABCD ∴PE⊥平面ABCD 由(Ⅰ) 可知PM⊥AM ∴EM⊥AM ∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角……………………………8分 ∴sin ∠PME=