毕业设计（论文）欧式与美式期权二叉树定价及程序实现.docVIP

姓 名： 卢众 专 业： 数学与应用数学 学 号： 指导老师： 许志军 2011 年 6 月 3 日 目录 一、期权二叉树定价简介 2 二、假设 2 三、符号说明 2 四、欧式二叉树模型 3 1、一步二叉树模型 3 2、风险中性定价原理 4 3、两步二叉树模型 4 4、多步二叉树模型 5 五、美式二叉树模型 6 1、单步二叉树 6 2、多步二叉树 7 六、对于其他标的资产的期权的定价 8 1、支付连续股息收益率股票期权的定价 8 2、股指期权期权的定价 8 3、货币期权 8 4、期货期权 8 七、实例解析 9 八、程序 10 一、期权二叉树定价简介 期权定价领域中一个有用并常见的工具是所谓的二叉树方法，这里的二叉树是指代表在期权期限内可能会出现的股票价格变动路径的图形，这里股票价格被假定为服从随机漫步，在树形的每一步，股票价格具有一定的概率会向上移动一定的比率，同时股票价格也具有一定的概率会向下移动一定的比率。在极限状况，即步长足够小时，二叉树中的股票价格趋于对数正态分布，而对数正态分布正式布莱克-斯科尔斯模型关于股票价格的假设。 二、假设 1、市场上无套利机会存在 编号 符号 意义 1 无风险利率 2 股票上涨比率 3 股票下跌比率 4 股票初始价格 5 期权价值 6 时间步长 7 股票数量 8 股票上涨的概率 9 股票的波动大小 10 股票在初始时刻价格 11 期权的执行价格 四、欧式二叉树模型 1、一步二叉树模型 在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能出现的不同股价。由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step）二叉树。这是最简单的二叉树模型。一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。经过一个时间步（至到期日t）后该股票价格有可能上升到 相应的期权价格为 ；也有可能下降到 相应的期权价格为. 这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2所示。我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage）假设，即市场上无套利机会存在。构造一个该股票和期权的组合（portfolio），组合中有股的多头股票和1股空头期权。如果该股票价格上升到则该组合在期权到期日的价值为如果该股票价格下降到则该组合在期权到期日的价值为。根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，即有??????????????????????? 由此可得 （2） 上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。在这种情况下，该组合是无风险的。以 r表示无风险利率，则该组合的现值（the present value）为 ,又注意到该组合的当前价值是故有 （3） 则： （4） 将()代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为 （5） 其中 （6） 需要指出的是，由于我们是在无套利（no arbitrage）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率应该满足： 2、风险中性定价原理 上述期权定价公式()似乎与股价上升或下降的概率无关，实际上，在我们推导期权价值时它已经隐含在股票价格中了。不妨令股价上升的概率为，则股价下降的概率就是，在时间的期望股票价格为 ?????????????????????? 如果我们假设市场是风险中性的（risk neutral），则所有证券的价格都以无风险利率增加，故有?????????????????????? 于是，我们有????????????????????? ?由此可得????????????????????????? 与()比较，我们发现：， 如上图所示，假设初始股票价格为S0。在二叉树的每一步，股票价格或者上涨到初始价格的u倍，或者下跌到初始价格的d倍，期权价值显示在树中。我们假定无风险利率为r，二叉树的步长为t。 因为步长为t，式（5）及式（6）变为: （7） 重复应用式（5），我们得出 （9） （10）