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海水养殖场的设计 摘要 本文研究通过对海水养殖场的设计，使得养殖场总的投资效益最大。 问题1：在射线OA与OB上分别选点A与B最大 问题2：将S分为两部分与，在C处打一桩满足 ，在射线OA与OB上分别选点A与B S有最大值，并且问题二的解决可以发现引理一：对的优化 问题3：将S分为两部分与四边形，， ， 此时为最大值，并且问题三的解决可以发现引理二：对的优化 问题4：利用引理一和引理二有，位于以为圆心的扇形上。 都是等腰三角形且全等。 一 问题重述 这里 请依次回答下列问题。 问题1 设渔网的总长为常数，在射线OA与OB上分别选点A与B,使得。在这两点处各打一桩，从A到B用渔网连接。试问A、B选在何处可使所围养殖场水面面积S （以下均用S表示该面积，该问中S等于AOB的面积）最大？证明你的结论。 围养殖场水面面积 渔网的总长 ，。 的长度 的大小 的大小 三 模型的建立与求解 3.1 A、B选在何处可使S最大 利用图中的几何关系可知，余弦定理可知（1），问题转化为求出满足(1)式的条件下，S的最大值。 即 当且仅当时取等号 3.2 选在何处可使S最大 连接，将S分为两部分与，假设两三角形无公共部分时，在线段长度固定的情况下，不妨设。 对于，利用上题的结论可知，。 对于，设，，半周长，利用海伦公式有 当且仅当时取等号即，为等腰三角形。 设，S的最大值问题转化为的最大值。 设，即，。 当且仅当，即，，。 ， 由问题二的解决可以发现一些规律： 引理一： 在相邻三桩之接的两张渔网，不妨设为，在固定，不固定，固定时，对于有，当S取到最大值时满足，即两张相邻渔网的长度相等。 证明：类似问题二的的面积最大值的求法，设 当且仅当时取等号即，，为等腰三角形。 3.3 选在何处可使S最大 连接，将S分为两部分与四边形，过和分别作的垂线，在线段长度固定的情况下，不妨设。设 的最小值处理方法同上。 利用引理一有，当取到最大值，。 由几何关系得， 则 平方得， ， ， 当时 当时 关于在定义域内单调减，而 关于在定义域内单调减 当，即时，不等号取等，此时四边形为等腰梯形。 由几何性质，等腰梯形四点共圆，四边形四点共圆。 连接，， 与平行 四边形四点共圆 此时设，则 接下来求出的最小值 设，取到最小值时也取到最小值 则，， 即 同理有 则 此时为最大值 由问题三的解决可以发现一些规律： 引理二： 在相邻四桩之接的三张渔网，不妨设为，在固定，不固定，固定时，对于有，当S取到最大值时满足，即三张相邻渔网的夹角相等。 证明：类似问题三的的面积最大值的求法，过程略。 结合引理一和引理二，得到了当S取到最大值时，四边形为等腰梯形且四点共圆。 3.4 选在何处可使S最大 利用引理一有，当取到最大值时，有。 当取到最大值时，四边形为等腰梯形且四点共圆，其中。 更进一步有相邻四边形有公共三角形，共圆心。则位于以为圆心的扇形上。都是等腰三角形且全等。