北京大学量子力学课件 第三章 一维定态问题.pptVIP

（3）应用标准条件 (I)ξ=0 exp[-ξ2/2]|ξ=0 = 1 Heven(ξ)|ξ=0 = b0 Hodd(ξ)|ξ=0 = 0 皆有限 (II) ξ→±∞ 需要考虑无穷级数H(ξ)的收敛性 为此考察相邻 两项之比： 考察幂级数exp[ξ2}的 展开式的收敛性 比较二级数可知： 当ξ→±∞时， H(ξ)的渐近 行为与exp[ξ2]相同。 单值性和连续性二条件自然满足， 只剩下第三个有限性条件需要进行讨论。 因为H(ξ)是一个幂级数，故应考虑他的收敛性。考虑一些特殊点， 即势场有跳跃的地方以及x=0, x → ±∞或ξ=0, ξ→±∞。 所以总波函数有如下发散行为： 为了满足波函数有限性要求，幂级数 H(ξ) 必须从某一项截断变成一个多项式。换言之，要求 H(ξ) 从某一项（比如第 n 项）起 以后各项的系数均为零，即 bn ≠ 0, bn+2 = 0. 代入递推关系)得： 结论 基于波函数 在无穷远处的 有限性条件导致了 能量必须取 分立值。 （4）厄密多项式 附加有限性条件得到了 H(ξ)的 一个多项式，该多项式称为厄密 多项式，记为 Hn(ξ)，于是总波 函数可表示为： 由上式可以看出，Hn(ξ) 的最高次幂是 n 其系数是 2n。 归一化系数 Hn(ξ) 也可写成封闭形式： λ = 2n+1 厄密多项式和谐振子波函数的递推关系： 从上式出发，可导出 厄密多项式的递推关系： 应 用 实 例 例：已知 H0 = 1, H1=2ξ，则 根据上述递推关系得出： H2 = 2ξH1-2nH0 = 4ξ2-2 下面给出前几个厄密 多项式具体表达式： H0=1 H2=4ξ2-2 H4 = 16ξ4-48ξ2+12 H1=2ξ H3=8ξ3-12ξ H5=32ξ5-160ξ3+120ξ 基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数Ψ(x)的递推关系： （5）求归一化系数 ( 分 步 积 分 ) 该式第一项是一个多项式与 exp[-ξ2] 的 乘积，当代入上下限ξ=±∞后，该项为零。 继续分步积分到底 因为Hn的最高次项 ξn的系数是2n，所以 dnHn /dξn = 2n n!。 于是归一化系数 则谐振子 波函数为： (I)作变量代换，因为ξ=αx， 所以dξ=α dx； (II)应用Hn(ξ)的封闭形式。 （6）讨论 3. 对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并的。值得注意的是，基态能量 E0={1/2}?ω ≠0，称为零点能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的“静止的”波是没有意义的，零点能是量子效应。 1。上式表明，Hn(ξ)的最高次项是(2ξ)n。所以： 当 n=偶，则厄密多项式只含ξ的偶次项； 当 n=奇，则厄密多项式只含ξ的奇次项。 2. ψn具有n宇称 上式描写的谐振子波函数所包含的 exp[-ξ2/2]是ξ的偶函数，所以ψn的宇称由厄密多项式 Hn(ξ) 决定为 n 宇称。 n = 0 n = 1 n = 2 4. 波函数 然而，量子情况与此不同 对于基态，其几率密度是： ω0(ξ) = |ψ0(ξ)|2 = = N02 exp[-ξ2] 分析上式可知：一方面表明在ξ= 0处找到粒子的几率最大； 另一方面，在|ξ|≧1处，即在阱外找到粒子的几率不为零， 与经典情况完全不同。 以基态为例，在经典情形下，粒子将被限制在|α x| 1 范围中运动。这是因为振子在这一点(|αx| = 1)处，其势能V(x)=(1/ 2)μω2 x2 = {1/2} ?ω= E0，即势能等于总能量，动能为零，粒子被限制在阱内。 ? -3 -2 -1 0 1 2 3 E0 E1 E2 分析波函数可知量子力学的谐振子波函数ψn有 n 个节点，在节点处找到粒子的几率为零。而经典力学的谐振子在 [-a, a] 区间每一点上都能找到粒子，没有节点。 -1 0 1 ω0(ξ) ωn(ξ) n=2 n=1 n=0 -1 1 ? -2 2 -4 4 |?10|2 ? 5. 几率分布 （三）实例 解： （1）三维谐振子 Hamilton 量 例1. 求三维谐振子能级，并讨论它的简并情况 （2）本征方程及其能量本征值 解得能量本征值为： 则波函数三方向的分量 分别满足如下三个方程： 因此，设能量本征方程的解为： 如果系统 Hamilton 量可以写成 则必有： （3）简并度 当 N 确定后，能量本征值