5.2一元线性回归中的假设检验和预测.docVIP

§5.2 一元线性回归中的假设检验和预测 一元线性回归中的假设检验 （1）假设检验的必要性 ①上一节推导出的回归系数的最小二乘估计（5.1-8）式，对的任何一组数据均适用，即使之间毫无关系。如果这样，求得的回归直线方程就没有任何意义。因此，求得回归直线后还需要检验之间是否真的有统计线性相关关系——一元线性回归的模型检验。 ②回归系数的最小二乘估计只是由的对观测值求得的，此估计值到底在什么程度上适于之间的真正关系？因此，需对参数是否取为其估计值作假设检验——一元线性回归的参数检验。 （2）一元线性回归的模型检验 为对之间满足一元正态线性回归模型： 这一假设的合理性进行严格的检验，需要检验三点: ①在的各取值点处，都服从正态分布，期望值依赖于，且方差都相同； ②在的各取值点处，的期望是的线性函数； ③在的各取值点处，相应的是相互独立的。 可见，进行完全的严格检验并不容易。而引起线性回归不显著的原因主要有以下三点： ①除变量外，还有其它重要变量影响的取值，故当取定时，不能服从正态分布； ②之间不是线性相关关系，而是某种非线性相关关系； ③的取值根本与的取值无关。 在上述情况之一出现时，若对配以线性回归模型，均会有，即. 因此，对线性回归模型显著性的检验可以简化处理为对是否成立的检验。方法如下： ①作假设 ②检验统计量及其分布 由定理5.1.3知： ，故当成立时有 以此为检验统计量，且由的一组观测值可以求得的观测值。 注: ，在matlab软件中采用的是检验。 ③拒绝域 给定显著水平，该双边检验的拒绝域应取为. ④做出判断 当抽样结果使的观测值落入拒绝域时，拒绝，认为，因而线性回归显著；否则认为线性回归不显著。 （3）一元线性回归的参数检验 ①作假设（为已知数） ②检验统计量及其分布 由定理5.1.3知： ，故当成立时有 以此为检验统计量，且由的一组观测值可以求得的观测值。 ③拒绝域 给定显著水平，取该双边检验的拒绝域为. ④做出判断 当抽样结果使的观测值落入拒绝域时，拒绝，认为；否则接受，认为. 注：由定理5.1.1②中的分布及由定理5.1.2①中的分布可以构造服从的另一统计量，对进行类似的假设检验。 一元线性回归中的预测 回归分析的最终目的，是当取定时利用回归方程对进行预测。所谓对的预测，即当时，求的点估计（预测值）和区间估计（预测区间）。 问题：在模型中令，则，且. 求的取值估计值和置信概率为的置信区间。 （1）预测值的求法 求出经验回归直线后，将代入，取 实质上是取. （2）预测区间的求法 ①的点估计. ②寻找枢轴量 (ⅰ) 的分布 其中均服从正态分布，故它们的线性函数也服从正态分布。再求的两个参数和. 又时, , , 且与相互独立。而 (5.1-8’) 其中，故与的线性函数相互独立。于是 (ⅱ) 构造枢轴量 由上式知 由定理5.1.2知 又：与相互独立（由定理5.1.2知分别与相互独立，故与独立；是的函数，故与独立， 从而与相互独立），于是 即： 以此为区间估计的枢轴量。 ③求置信区间 给定置信概率为，有使 由导出的置信区间为 （3）对预测区间的分析 考虑任一点处的取值的预测区间：由(5.2-3)式知，若记 而，于是的置信下限，置信上限，预测区间为. 其中 预测区间长当时最小；离越远，越大。这说明回归分析比较适于在原有观测数据附近作内插预测；而不适于在离原有观测数据较远处作外推预测。 预测区间的中心为，即经验回归直线上处的纵坐标。 ③当很大且较小时，，，则预测区间可简化为：，此时的置信上、下限在的临近，近似于直线。 例5.2.1（续例5.1.1） （3）检验线性回归的显著性（）；（4）求（2岁3个月）时，平均体重的预测值和预测区间（）。 解：（3）作假设，当成立时检验统计量 临界值为 可见，拒绝，认为，因而与之间线性回归显著。 （4）时， 的置信下限，置信上限，预测区间为. 例5.2.2 下表给出了过去年间某城市新建住宅面积（单位：万平米）和某家具公司的销售额（单位：万元）的统计数据： 年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 新建住宅面积 121 118 271 190 175 263 334 368 305 210 销售额的观测值 360 260 440 400 360 500 580 560 505 480 年 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 新建住宅面积 380 270 218 342 173 370 215 205 339 283 销售额的观测值 602 540 414 590 492 660 463 410 680 594 若今年，试预测（）。 X=[