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三、草原命运（85-95） 天然草原的生息繁衍，已形成自身特有的生物链，且对人类生存起着重要作用。长期以来，人为破坏（如过度放牧、猎杀动物及采挖草药等）使草原生态每况愈下，日渐衰竭。据2000年8月6日《北京晚报》载：“……受利益驱使，有些人不顾国家法律和当地政府禁令，在呼伦贝尔草原大肆采挖中草药，致使草原 严重受损。据此，有关专家推断，10年之内，该草原将变成荒漠。” 为了天然草原的生息繁衍和可持续发展，完成以下工作： （1）建立草原自然生长规律模型，描述人为破坏对草原生长的影响过程; （2）论证或驳斥报载消息中专家的推断，如果立即停止对草原的一切破坏，10年后的情形如何？ （3）寻找导致草原消失的临界条件，给出草原生长的挽救方案，并对挽救效果进行预测。 一、问题的提出 人类赖以生存的陆地除了河流、湖泊和森林等以外，最重要的就是广袤的草原。天然草原的生息繁衍，已形成自身的生物链且对人类生存起着重要的作用。然而，长期以来，过度放牧，猎杀动物及采挖草药等人为破坏，使草原生态每况愈下，日渐衰竭，草原严重受损。 为了天然草原的生息繁衍和可持续发展，需要解决以下问题 1．建立草原自然生长规律模型，描述人为破坏对草原的影响过程。 2．立即停止对草原的一切人为破10 年以后的情形如何。 3．寻求导致草原消失的临界条件，给出草原生长的挽救方案， 并对挽救效果进行预测。 二、问题的分析 这是一个典型的生态平衡问题，在这个生态系统中，我们主要考虑了草，食草动物及人的破坏行为三个因素，不考虑特别的自然和气候等等其他非人为因素造成的突变性灾难．也就是说对于草原的发展，我们只考虑其自然发展以及现有的人为破坏问题。首先建立了草与食草动物相互作用的生态模型，其次考虑人破坏行为对草原生态平衡产生的负面影响，对原有模型加以改进。停止人为破坏后再对草原的状况进行定性分析和定量分析，并与草原自然平衡状态进行比较，找出导致草原消失的临界条件。 三、问题的假设 1）天然草原生息繁衍的生态系统中，只考虑食草动物和草，即将草原的生态系统理解为“食草动物与草”的食物链； 2）忽略气候、土壤等其他外部条件的影响； 3） 忽略草原内不同种类草的生长差异和竞争，即将其归结为草原上的“草”； 4）草原上草的生长率和动物的自然死亡率是持续的； 5）在有人为破坏的情况下，考虑人为破坏力是持续的； 6）人为破坏力对草原及草原上的食草动物具有同等破坏程度； 7) 如果停止人为破坏,在一定时间内，草原草量恢复不到原来的20%（或恢复不到快速增长起点），则视为草原无法修复，将变为荒漠。 四、符号说明 初始草量 草原植草的生长速度称为草原的产草率 在一定区域范围内草原的总草量 草原草量的饱和量 在一定区域范围内食草动物的总量 食草动物掠食草的能力 食草动物自然死亡率 草原对食草动物的供养能力 人对草原的破坏率 时间变量 人为破坏持续的年数 快速增长起始点 立即停止破坏时草原草量 停止破坏后第年草原草总量与草原自然平衡时之比 模型的建立 一） 草原自然生长规律 在理想生长条件下，草原的自然生长规律为草原植被的生长速度与现有草量成正比，草原生长方程为 （1） 式（1）为著名的Malthus模型，其解为。 但是自然种群不可能长期地按照几何级数增长，一个种群在有限的空间中随着密度的上升会受到资源和空间的限制，导致种群内部竞争的加剧，必然影响到种群的出生率和死亡率．即出生率下降和死亡率上升．从而降低种群的增长率。显然，模型（1）不适合草原的长期自然增长规律。 假设环境条件允许草原产草量有一个最大值，或者说存在一个草原草量的饱和量，记为。草原草量越接近该饱和值，其增长速度越使，当草原草量达到时将不在产草，即产草率r为零。于是我们发现草原的产草率r并不是一个固定的常数，草量N越大量，产草率r越小，并且当时，，草原不再增长。 我们采用Logistic模型来表示阻滞增长，即 （2） 草原和食草动物形成特有的生物链，根据生态学种群相互作用模型变为 （3） 二） 人为破坏对草原的影响 如果每年人的破坏能力是常数，此时草原生长的数学模型可在原来的模型（3）的基础上增加一项人对草原的破坏。 即： （4） 如果人的破坏能力不是固定值，而是与总草量有关，即人为破坏的草原的草量随草原总草量的变化而变化。于是，模型变为 （5） 模型（4）是模型（5）的特殊情况，模型（5）即在有人为破坏时，草原的生长模型，分析（4）即能反映出草原的生长。 六、模型的求解 一） 草原自然生长规律 求解模型 （3） 模型中的不依赖于时间的解被称为平衡点，观察并计算可知模型（3）中有两个平衡点：和。第