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* 向量的内积与正交向量组 本节主要内容 向量的内积： 内积运算； 模运算； 向量的夹角； 向量的距离 正交向量组： 正交向量组； 向量组的正交化 内积的定义 定义：设有n维列向量 记 则 称为向量的内积. 由于向量可以看作矩阵，因此 小结 根据内积的定义，可以得到内积运算的运算律： 其中 为向量， 为实数. 例题1：设 求 向量的模 定义：称数 为向量 的模（或长度）， 记为 ，即 模为1的向量称为单位向量. 三角不等式的几何意义 小结 向量的模的性质： （1）非负性 （2）齐次性 （3）三角不等式 向量的单位化：当 时， 是单位向量. 定理：对任意n维列向量 ，有 定理的应用：证明三角不等式. 两个向量的夹角 小结 定义：当 时 称为向量 的夹角，其中 两个向量的距离 定义：n维向量 的距离为 小结 计算距离时，若已知向量的长度与夹角，可以考虑计算距离的平方，然后开方得到距离。 正交向量组 定理：若n维向量组 是正交向量组，则 线性无关. 定义：如果n维向量 的内积 ，则称 正交. 由定义知，零向量与任何向量都正交. 定义：若一个向量组中每个向量均不为零，且任意两个向量都正交，则称该向量组为正交向量组. 例题3：证明：如果矩阵A的列向量构成正交向量组，则 是对角矩阵. 小结 在一个正交向量组中，如果每个向量都是单位向量，则称这个向量组为标准正交向量组. *
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