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故 , 27．=, 令= ==== 28. == 三、应用题：本大题共2个小题，每小题7分，共14分。 29．将一长为的铁丝切成两段，并将其中一段围成正方形，另一段围成圆形。为使正方形与圆形面积之和最小，问两段铁丝的长各为多少？面积之和为多少？ , , 为唯一极小值点,所以为S的最小值点S= 30．某公司打算购置计算机的若干附加的辅助设备，若Q表示增加设备的计算机的台数，所带来的节约金额和维修成本分别为 C 1 ＝3Q 2+11 , C 2＝4Q 2＋2 C 1 , C 2 以千圆计，为使总净收益最大，试问多少台计算机应增加设备，最大净收益是多少？ 解： Q=3, （唯一）， 故 3台计算机应增加设备，最大净收益为18000元 四、证明题：本题满分6分。 31．试证明：整式方程有重根 的充要条件为 证：必要性?:设f(x)=0有重根α,则f(x)=(x –α)2g(x),其中g(x)是常数或是x的整式,于是 fˊ(x)=2(x-α)g(x)+ (x –α)2gˊ(x),因此f(α)=0, fˊ(α)=0 充分性?: 设f(α)=0, fˊ(α)=0, 因f(α)=0,则f(x)=(x-α)h(x), 于是 fˊ(x)=h(x)+(x-α)hˊ(x), 因fˊ(α)=0,由上式得h(α)=0, 所以h(x)=(x-α)g(x), 因此有 f(x) =(x –α)2g(x),于是 x=α是方程的重根. 高等数学模拟试题（七） 一 、选择题：本大题共20个小题，每小题2分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在括号内。 1．函数 的值域为（ ） A. B. －1 C. －2 D. －1，－2 2．＝（ ） A. B. 1 C. －1 D. 3．一元函数连续是函数可导的（ ） A. 必要但不充分的条件 B. 充分但不必要的条件 C. 充要条件 D. 既不必要又不充分的条件 4．函数 的导数 在 []上存在，且,则方程 在 []上（ ） A. 无实根 B. 有唯一实根 C. 至少一个实根 D. 有两个实根 5．函数 在 []上符合罗尔定理结论中的 ＝（ ） A. 0 B. 2 C. －2 D. 6．设对于任意的,都有 , 且 ，则 ＝（ ） A. B. C. － D. 7． ＝（ ） A. B. C. D. 8．函数 的定义域是（ ） A. B. [－3, 3 ] C. (－2 ,－1) D. 9．函数 在（ ）的变化过程中为无穷大量 A. 0 B. 1 C. ＋ D. － 10．要使 是连续函数，应该是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 可取任何值 11．设函数 在 可导，则分别为（ ） A. 1，1 B. 1，－1 C. －1，1 D. －1，－1 12．设 ，则 ＝（ ） A. B. C. D. 13．下列函数中，在指定的区间上，满足罗尔定理条件的是（ ） A. , 在[ 0,3 ]上 B. 在 [－1, 1 ]上 C. ， 在 [－1, 1]上 D. ，在 [ 0, 3 ]上 14． 是（ ） A. 一个常数 B. 的一个原函数 C. 的一个原函数 D. 的所有原函数 15．＝（ ） A. B. － C. － D. －1 16．函数 是（ ） A. 奇函数 B. 非奇非偶函数 C. 连续函数但不可导 D. 有界函数 17．＝（ ） A. - B.