【微积分讲解】含参变量积分的概念与性质.docVIP

第四章 重积分 第六节 含参变量的积分 4-6-1 含参积分的概念及性质 4-6-2 广义含参积分 第十五讲 含参变量积分的概念与性质 课后作业： 阅读：第四章 第六节: 含参变量积分 pp.135---141 预习：第五章 第一节: 曲线积分 pp. 142---151 作业: 1. 计算下列含参变量积分的导数 (1) ; (2) . 2. 设为可微函数, 且, 求. 3. 求椭园积分及 的导函数, 并以函数和表示之; 证明满足微分方程 . 4. 计算 提示: 利用 . 5. 设为可微分两次的函数, 为可微函数, 证明: 函数 满足弦振动方程 及初值条件: , . 4-6-1 含参积分的概念 含参积分是函数的又一种常用的表示形式, 在理论上和实际上都有重要的作用。本章主要研究含参变量积分与广义含参变量积分的概念及由它 所定义的函数的分析性质，即 连续性、可微性与可积性。 引例 椭园曲线, 的弧长为: =; 令 , ; 虽然积分，在时, 不能表成初等形式, 但确定了一个的函数, 这个积分称为含参变量的积分, 其一般定义为 含参积分定义 设在矩形域上连续, 则对任意的, 积分存在, 并确定了的一个函数, 记作 , 称为含参变量的积分。 注: 含参变量积分大多是不能用初等函数表示, 因此, 含参变量积分是表示非初等函数的一个重要方法。 为方便，记为. 4-6-2函数的一致连续性 函数在点连续的定义义是: , 使当时 . 一般说来, 的选取不仅与有关, 而且与有关。 例 在(0, 1)内连续, 设, 要使 , 即 , 取, 则, , 取 , 则当时, . 显然,在区间内对任意给定的, 没有一个与无关的，使得时, 成立。 但 在,内, 则当时, 只要取, 此时, , 当时, 对, 都成立。 对于上述两种情况, 我们称在(0,1)区间上不一致连续, 而在区间上一致连续。 定义 设函数在区间上连续, 如果, 存在只依赖于的, 使当且时, 均有, 则称在上一致连续。 它等价命题是: 定理 有界闭区间上的连续函数一致连续。 有关一致连续的定义和定理可以推广到多元, 下面以二元函数为例 定义 设在域上连续, 如果, , 使当, 且, 时, , 均有, 则称在域上一致连续。 定理 若在有界闭区域上连续, 则它在上一致连续。 4-6-3含参积分的解析性质 连续性定理 若在: 上连续, 则 在上连续, 即 , 均有 . 证明: 设, , 由 . 由于在有界闭区域上连续, 从而一致连续, 因此 对于上述, 存在不依赖于的, 使得当且时, , , 于是 , 故在点连续, 本定理得证。 注: 上述定理表明 ,积分对参变量的极限运算与对变量的积分运算的顺序可变换, 这个性质也称为积分号下求极限。 可导性定理(1) 设及在有界闭区域: 上连续, , . 证明 记 , 则 . =, . 由于在区域上连续, 根据连续性定理, 可得 == 这表明, 若满足定理的条件, 则由含参积分定义的函数在内可微, 且对参变量的求导与对x的积分运算可变换顺序, 这个性质也称为 积分号下求微商。 可导性定理(2) 设 (i)及在: 上连续; (ii) 在上可微, 且时, 满足, 。 则 证明 : 记, , 将上式等号右边的三个积分分别记为, 它们分别在点处的导数是： . =, 其中在与之间, 由的可微性及的连续性可得 . 同理可得 , 本定理得证。 上式通常称为莱布尼兹公式, 这个公式也可以利用复合函数求导的方法证明, 这时将含变量积分看成是与的复合。 可积性定理 设在矩形域: 上连续, 则 . 证明 取作变量 , 即考虑函数 和 ; = 则, 又由 。 本定理得证。 表示在连续的条件下, 其对, 对的积分次序可交换, 这个性质也称为积分号下求积分。 以上我们讨论了由含参积分表示的函数的一些分析性质, 下面利用这些性质, 计算一些积分。 例1 计算, 其中。 解 为确定积分常数，将积分变形： ;