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不定积分讨论题 一、定积分计算 1． 设，求 . 2． 设，试用表示：（1）， （2）. 3． 设，证明：. 4．计算定积分： 二、定积分应用 设有曲线族,对于每个正数(),曲线 与曲线交于唯一的一点(其中)， 用表示曲线与曲线围成的区域的面积； 表示曲线与围成的区域的面积.求证在上述 曲线族中存在唯一的一条曲线,使得达到最小值. 点是闭曲面 ： 内的定点。求以点为球心的球面，使被包含在内的那部分面积 为最大。 三、定积分证明 1．设在上连续，且，（） 问：在上至少有几个零点？并证明你的结论。 2．设是连续偶函数，，且 ， 证明：在上严格单调增； 求使在上取最小值的点； 若对任意，均有，求 设在上二阶可导，且，试证： . 设在上连续且单调增，证明： . 5．设，且对于满足的任意连续函数,都有 ，证明：必恒为常数. 解答 一、定积分计算: 1． 设，求 . [解] 2． 设，试用表示：（1）， （2）. （1）[解] 利用换元法：先令，再令，可得 （2）[解] 利用分部积分法：取 ，可得 3． 设，证明：. [解] 先将左端分部积分，得 再作换元：在第一个积分中，令，在第二个积分中， 令，于是， 左 再利用定积分的值与积分变量所用字母无关的性质，便可得到 左右 4．计算定积分： [分析] 积分区间对称，想：能否利用奇、偶函数积分性质？ 令 ， 故 ， ，即非奇非偶。 令人失望！ 是否还存在一线希望？ 能否将改造一下？ 令 是奇函数 容易！ 即 取 ，则 [解法一] [解法二] 因为 是偶函数，所以 是奇函数。 于是有 [解法三] 用换元法 令 ，记： ，则有 所以 [注]：解法三的实质是什麽？ 看看一般情况的换元结果：若在上连续，则有 上述结果也可以利用下列命题得到： 定义在上任意函数，可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和： 因为 ，所以有 二、定积分应用 1．设有曲线族,对于每个正数(),曲线 与曲线交于唯一的一点(其中)， 用表示曲线与曲线围成的区域的面积； 表示曲线与围成的区域的面积.求证在上述 曲线族中存在唯一的一条曲线,使得达到最小值. [解] 与的关系是： ，在区间单调减少。于是 反函数存在。与 是 一 一 对应的。所以 ，。问题转化为：作为的函数， 在区间有唯一最小值。 ， 求导数： ， 于是在区间中存在，使得。通过计算知， 在区间： 上，恒有： 。 所以函数在区间有唯一驻点，并在该驻点处达到最小值。 点是闭曲面： 内的定点。求以点为球心的球面，使被包含在内的那部分面积 为最大。 [解] 将变形： 是球面，球心为，半径为，且点到球心的距离为 因为要确定，只须求出其半径。 不妨考虑新问题：为 ， 点为 设 为 当时，有 当时，两球面与的交线为圆： 从方程中消去、，得 故是平面 的圆 是一个半径为的球的球冠的面积 ，该球冠的高为 求： 视为“圆 上一段弧绕轴旋转而得” 因为 所以 从而 球冠面积为 对求导得 令 ，的区间上的唯一驻点 由于 ， 所以，在唯一驻点 处取得最大值 故 所求球面的半径为 ： 所求球面的方程为 ： 三、定积分证明 1．设在上连续，且，（） 问：在上至少有几个零点？并证明你的结论。 [分析] 如何寻求解答方案？一个自然的思路是考虑简单的情况。即 利用收缩的手法，把问题简单化，去猜一个答案！ （1）考虑 “”，即 在上连续，且 猜至少有一个零点 因为若 ，结论显然成立！ 若 ，由，故在上不能恒正， 也不能恒负！又在上连续，由介值定理，， 使 。 （2）再考虑 “”，即 在上连续，且