【微积分讲解】微分学在几何上的应用及多元函数的Taylor公式.docVIP

第二章 第五节 微分学在几何方面的应用及多元函数的Taylor公式 课后作业： 阅读：第二章 第四节 4.3 : pp. 56---58; 第五节 5.2: pp. 60---63 预习：第二章第五节 5.2: pp. 60---63 作业: 第二章 习题4: pp. 59---60 : 6, (3), (5); 7, (1), (2) ; 8; 10; 12; 13. 补充：1, 求函数在点的二阶带 格伦日余项的Taylor公式。 2, 求函数在点的三阶带拉格伦日余项的Taylor公式。 第六讲 微分学在几何上的应用及多元函数的Taylor公式 2-5-1 空间曲线和曲面的光滑性 (1) 空间曲线的切线 设是空间中的一条曲线， 其参数方程 (parameter equation) 为 若记， 则曲线C的参数方程又可以写作 当参数表示时间时，上述方程组或向量函数可以看成表示的是质点的运动规律；这时曲线C表示的就是质点的运动轨迹. 设为曲线C上的一点，在C上任取另外一点 ，过两点作割线, 则此割线的一个方向向量为 如果函数都在处可导，那么 当时，向量就趋向于极限向量 当 时， 则称非零向量为曲线在点处的切向量(tangent vector). 经过点并且以为方向向量的直线称为曲线在点处的切线(tangent line)，其参数方程是 另外，过点并且垂直于曲线在该点切线的平面称为曲线在点处的法平面(normal plane)，它的（点法式）方程为 例1 求螺线 ； 在点 处的切线与法平面. 解 由于点对应的参数为，所以螺线在处的切向量是 因而所求切线的参数方程为 法平面方程为 . 空间曲线还可以看作是两张空间曲面的交线，因此，从方程形式上讲，曲线除了具有参数方程外，还具有一般方程（隐函数形式）,关于曲线的一般方程将在稍后再作详细讨论. (2) 空间曲面的切平面 (A) 空间曲面的三种表示： 显函数表示： 隐函数表示: 参数方程表示: 双参数 空间曲面的切平面： 下面讨论两个问题: 其一, 曲面在一点的切平面是如何定义的？ 其二, 如何求曲面上在一点的切平面方程？ 定义 设是一张空间曲面，是上的一点，若所有过且在曲面上的曲线在处的切线共面，则称此平面为曲面在处的切平面(tangent plane)；过且与切平面垂直的直线称为曲面在处的法线(normal line). 切平面的定义可以有好几种，我们之所以用这一定义，是因为，这是根据曲面的固有性质，与其方程形式没有关系. 而且这样有利于对一般空间推广得到所谓切空间的概念。 另外，还有一种较好的定义：设是一张空间曲面，是上的一点，是过点的一张平面, 曲面上任一点到平面的距离为, 若时，=, 则称此平面为曲面在处的切平面 (i) 切平面的方程 首先讨论：如果曲面的切平面的存在，其切平面的方程是什么？ 显然，这与曲面的方程表示有关。 若曲面由显函数表示： 因为，所有在曲面上过的曲线在处的切线都在切平面上曲线和的切线在上 平面的法向: 曲面过切平面方程: , 其中， 法线方程是 接着要研究：函数满足什么条件时，其切平面存在？ 若曲面由显函数表示在点可微, 则曲面在点有不平行轴的切平面. 证：若曲线: 是曲面上过点, 其中的光滑曲线, 即函数在可导。 现在要证明，此曲线过的切线在平面: 上。其法线方向是： 事实上，曲线在处的切线向量是: . 显然有: , 即：曲线过的切线在平面上。 实际上，函数表示在点可微是 曲面在点有不平行轴的切平面的充分必要条件。 (ii) 用隐函数和参数方程表示的曲面的切平面方程： 若曲面由隐函数表示, 过的曲线为： , 两边求微分： 曲面过切平面方程 法线方程是: 或 另外，设在有 ，即三个偏导数 中至少有一个不为零时，不妨设，这时由隐函数定理可以推出在的某个邻域中唯一地定义了一个函数，满足 , 由隐函数微分法得 , 这时可以利用了函数显示表示下切平面的结果推达上述结论。 若曲面由参数方程 表示 若记，则上式的向量形式为 设是上的一点，当固定时，方程确定了曲