自动控制理论课件第八章.pptVIP

Chapter8 解： 例8-24 已知状态空间描述及零初始条件，输入为单位阶跃,求状态方程的解 x(t)及系统响应 y(t) 。 齐次方程 的解： 状态转移矩阵的定义 状态转移矩阵的性质 Φ(t)的求法 1）直接法 2）当A为特征值标准型时，可用性质10直接写出 3）Laplace变换法——适用于二阶系统 4）线性变换法——当A为友矩阵时方便 5）有限多项式法——简单，方便 非齐次状态方程的解： 输出方程的解： 小 结 8-3 线性定常连续系统状态方程的求解复习 8-3-1 齐次状态方程的解 齐次状态方程： 1）幂级数法 2）拉普拉斯变换法 解状态方程的关键——求状态转移矩阵 ： 8-3-2 状态转移矩阵的性质 性质1 性质2 性质3 性质4 性质6 性质5 性质7 性质8 若 AB = BA ，则 若 ，则 P为非奇异矩阵，则： 性质9 若 性质10 特征值标准型的状态转移矩阵 1) A 为对角形矩阵,且各元素互异时: 2) A 为约当阵 8-2-3 Φ(t)的计算 方法1 按定义 缺点：无穷级数求和较困难。 方法2 利用状态转移矩阵的性质10 当A为特征值标准型时，可利用Φ(t)的性质10。 缺点：适用面窄。 方法3 用拉氏变换 缺点：对高阶系统，计算量大，但对二阶系统很方便。 基本概念 基本思路 化A为特征值标准型 举例 方法4 线性变换法 1) 线性变换的基本概念(P460) 对于 作变换 P为非奇异(detP=0)线性变换矩阵 有： 左乘P-1 , 整理得： 令： 有： 称这个过程为对系统进行P变换 线性变换的目的： 使A阵规范化（Jordan型，可控、可观标准型）， 以便更清晰的揭示系统特性及分析计算. 由性质9 若： 则： 由性质10 若 为Jordan型，则 可直接写出 求 的思路： 对于A 为Jordan型 P变换 关键问题： 如何化A为特征值标准型 变换阵P的确定 2）用线性变换法求状态转移矩阵的基本思路 对角线 Jordan型 结论1 当 时 n个互不相同的实根时，一定存在非奇异线性变换矩阵P，使 ，亦即当A的特征值为 而且 P=[p1,p2,…,pn]。 其中：pi是A的属于λ i的特征向量。也即pi (i=1~n) 是齐次代数方程组： ——对角阵 3）化系统矩阵A为特征值标准型的几个重要结论 的任一非零解（常取基本解）。 即： 当A为友矩阵，且有n个互异特征值 时， 化A为对角阵的变换矩阵P 为范德蒙特(Vandermode)矩阵： 结论2 当A具有m重实数特征值λ1=λ2 =…=λm,其余(n-m)个是互异 实特征值，但在求Api= λipi (i=1~m)时，仍有m个独立实特征向量 p1 , p2,…,pm，则仍可使A化为对角阵Λ： 互异实特征值对应的实特征向量 结论3 设A的特征值为λ1(m1重实根)， λ2(m2重实根)， … λk(mk重实根)， m1 + m2 +…+ mk =n，且方程(λiI-A)pi =0 可解出mi个独立特征向量(其中i=1,2,…,k)，则存在非奇异变换 矩阵P，化A为对角阵： m1行 m2行 mk行 结论3的推论 设A阵具有m重实特征值λi , 其余(n-m)个互异实特征值, 但求(λiI-A)pi =0时,只有一个独立实特征向量p1, 则A只能化为约当型。 而且， 其中:p1是A的属于λ1特征向量；pi(i=m+1,…,n)为A的属于λi (i=m+1,…,n) 的特征向量； p2 ,p3 ,…, pm是A属于λ1广义特征向量，满足： 结论4 设A的特征值为λ1(m1重实根)， λ2(m2重实根)，… λk(mk重实根)， m1 + m2 +…+ mk =n, 且(λiI-A) pi =0 (i=1,… ,k) 都是只有一个独立的实数解,则存在P，化A为Jordan型 ——λi所对应的Jordan块 系统矩阵A的属于λ1广义特征向量 系统矩阵A的属于λ1特征向量 结论4推论 设A为友矩阵，具有m重实特征值λ1， λm+1… λn互异，且 (λ 1I-A) p1 =0的解只有一个独立实特征向量，则使A约当化的P为： 其中 即 结论5 1 凯莱—哈密顿(Caylay-Hamilton)定理 设n阶方阵A的特征多项式为： 则A满足其特征方程 推论1：An可以用I, A, A2, … ,An-1的线性组合来表