高中数学《直接证明与间接证明》课件2 新人教A版选修2-2.pptVIP

* 综合法和分析法 通过前面的学习我们直到，合情推理多得出的结论我们需要加以证明，这正是数学区别于其他科学的显著特点。数学结论的正确性必须通过演绎推理(逻辑推理)的方式加以证明，本节我们来看一种基础的证明方法 1.直接证明：直接证明包括两种最基本证明方法—— 综合法与分析法 综合法(synthetical methed)：所谓综合法，是指“由因导果”的思想方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法 综合法的可概括为下面形式： P?Q1 Q2?Q3 Q1?Q2 Qn?Q 例1已知a,b,0, 求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 证明：∵b2+c2≥2bc,a0 ∴a(b2+c2)≥2abc 同理, ∵c2+a2≥2ac,b0 ∴b(a2+c2)≥2abc ∴ a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 练习1: 已知AD是∠BAC的平分线,DE∥CA,且交AB于E(如图).求证：DE=AE 分析： 综合法是由因导果,立足于寻找已知条件合适的必要条件,适宜于表述 3 2 1 E A C B D F AD平分∠BAC DE∥CA 已知 ∠1=∠2 ∠2=∠3 已知1 ∠1=∠3 已知2 DE=AE 结论 例2 在△ABC中,三个内角A、B、C对应的边分别为a,b,c,且A,B,D成等差数列,a、b、c成等比数列.求证：△ABC为等边三角形. A B C 练习 如图所示,△ABC在平面?外,AB∩?＝P,BC∩?＝Q,AC∩?=R,求证：P、Q、R三点共线 分析：P、Q、R∈?，P、Q、R∈平面ABC 则P、Q、R是两平面的交线 在解决实际问题时，经常要先作语言的变换 文字语言 图形语言 符号语言 然后在仔细分析题目的隐含条件，将隐含条件表示出来 分析法(analytical methed)：是指“由因导果”的思想方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法． Q?P1 P2?P3 P1?P2 得到一个明显成立的条件 练习1: 已知AD是∠BAC的平分线,DE∥CA,且交AB于E(如图).求证：DE=AE 3 2 1 E A C B D F 分析： AD平分∠BAC DE∥CA 只需证 ∠1=∠2 ∠2=∠3 只需证 ∠1=∠3 只需证 DE=AE 要证 例3 如图所示：SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F. 求证：AF⊥SC 分析：本题条件较多，而且垂直关系较多，我们不容易发现如何使用这些垂直条件，因此利用综合法比较困难，我们采用分析法， 证明： 要证： AF⊥SC 只需证： SC⊥平面AEF 只需证： AE⊥SC ( ) 只需证： AE⊥平面SBC ( ) 只需证： AE⊥BC 只需证： BC⊥平面SAB 只需证： BC⊥SA （ ) 由SA⊥平面ABC可知上式成立 ∴AF⊥SC SC⊥平面AEF AE⊥平面SBC BC⊥平面SAB 练习 设a,b,c为一个三角形的三边，s=(a+b+c)/2,且s2=2ab. 求证：s2a s2a s=(a+b+c)/2 b+c3a s2=2ab bs s=(a+b+c)/2 2b2s=a+b+c ba+b 1.由于分析是执果索因，立足于寻找欲证结论的合适的充分条件，利于思考；而综合法是由因导果，立足于寻找已知条件合适的必要条件，适宜于表述．因此，对于一个新的问题，多半采取先用分析法寻求解法，后用综合法有条理地表述． 2.实际证题过程，分析与综合是统一运用的，把分析和综合孤立起来运用是脱离实际的．没有分析就没有综合；没有综合也没有分析．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚好相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它 说明 分析：证明式中没有?,因此我们要将?消掉,如何消掉?？而且在条件中只有弦,而在证明结果里面只有切,因此我们要弦化切 1.综合法： ∵(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ＝1 ∴(2sinα)2-2sin2β＝1 ∴4sin2α-2sin2β＝1 ∴2(cos2α－sin2α)＝cos2β-sin2β 即： 2(cos2α－sin2α) cos2α+sin2α cos2β-sin2β cos2β+sin2β ＝ （二倍角公式）