调和分割的基本性质及其应用初探.pdfVIP

中学数学研究 2009年第7期 调 和 分 割 的 基 本 性 质 及 其 应 用 初 探 江西省吉安市白鹭洲中学 (343000) 张子路 如果点M 内分线段AB，点N 外分线段 性质 5 如图1，圆。外一点P 向圆0 弓 AB，且 AM ：MB=AN．：NB，那么称点 M，N 两条切线PA，PB，连结AB， 调和分割线段AB．亦称 A，M ，B，N 为调和点 作割线 PCD，且 该割线与 列． AB 交于点E，则 C，D调和 容易得到调和分割有 以下基本性质． 分割线段PE． A 性质 1 若 M ，N 调和分割线段AB，则 让 明 ：连 DA ，AC，CB ， 图1 A，B也调和分割线段MN． BD，由条4~-易得 ／xBED∽△CEA，／XBEC∽ 性质2 设 0为AB 中点，则有 OA = △DEA．所以有面CE=AC(1)，面BE=BC(2) OB2=oM ·0N∞M ，N调和分割线段AB． 肋 ． 性质 3 若 M ，N 调和分割线段AB，则 (1)×(2)有盛= ，同样地，ApBC + (其中AB，AM，AN为有向线 cox／PDB，／xPACcoAPDA，得器： ， 段)，反之亦成立． · CE =雨pC丽2 ：pCz = 一 一 ． ． ． PA’一DE PA PA2，而由切割线定 性质 4 若AD，AE分别为 BAC的内 · PB 角、外角平分线，则D，E调和分割线段BC． 理得 = 篙= ，．．器·=器，．．．篆 在探究过程中我们还发现下面几个基本性 质： ：丽PD，故C,D调和分割线段PE． j‘‘夸 一 夸妊，jkr ‘}9}‘ j‘ I j j ：·IrIk ·坐 I 坐 k 啦 夸 —jt．，j|e-j 坐 j 坐 j -jkrj-t，Ir I 坐 解法粗看，天衣无缝，其实存在漏洞，那就是当 q．对于 ：一方面要弄清通项公式 a=al口一。 公比g=一1且 咒为偶数时，S ：S2一S = 及求和公式S ： 二。 中，2的本质含义即 S3一S2=0，此 时 S ，S2一S ，S3一S2都 1一 q 为0，怎能成等比数列呢?故知上述解法有误． 总项数，切勿被表面现象所迷惑，如例 1；另一 综合 以上知本例正确答案应为：当公比q=一1 方面在处理递推式时，若有代换，式子相加减等 且 为偶数时，S ，S2一S，S3一S2不成等 运算时，还要关注项数 取值范围的变化，以 比数列；当公比q≠一1或当公比g=一1且 咒 做到等价性，如例2；对于项：我们在处理好局 为奇数时，S ，S2一s，S3一S2成等比数列． 部关系时，不能忽视数列的整体性特征即不能 犯 “不识庐山真面 目，只缘身在此山中”的错误， 评注：在处理与等比数列前 项和有关的