08_特征值和特征向量.pdf

第8章 特征值和特征向量 M AT L A B中的命令计算特征值和特征向量很方便，可以得到不同的子结果和分解，这在 线性代数教学时很有用。注意，本章中的命令只能对二维矩阵操作。 8.1特征值和特征向量的计算 假设A是一个m×n的矩阵，A的特征值问题就是找到方程组的解： 其中l是一个标量，x是一个长度为n的列向量。标量l是A的特征值，x是相对应的特征向 量。对于实数矩阵A来说，特征值和特征向量可能是复数。一个 n×n的矩阵有n个特征值，表 示为l1，l2，. . .，ln。 M AT L A B中用命令e i g来确定矩阵A的特征值和特征向量。特征向量的规格化，就是每个 特征向量的欧几里得范数为1；参见7 . 6节。 命令e i g自动完成对矩阵A的平衡化。这就要求 M AT L A B找出一个相似变换矩阵Q，满足 条件 。求 的特征值比求A的特征值条件更好些。万一 A有一个和机器错误大小一 样的元素，平衡化对于计算过程是没有好处的。带有参数 n o b a l a n c e的命令e i g可用来计算 没有这个变换矩阵的特征值和特征向量。 命令集7 9 特征值和特征向量 e i g ( A ) 求包含矩阵A的特征值的向量。 [ X , D ] = e i g ( A ) 产生一个矩阵A的特征值在对角线上的对角矩阵 D和矩阵 X，它们的列是相应的特征向量，满足A X=X D。为了得到 有更好条件特征值的矩阵要进行相似变换。 [ X , D ] = 不经过平衡处理求得矩阵A的特征值和特征向量，也就是 e i g ( A , ’ n o b a l a n c e ’ ) 不进行平衡相似变换。 b a l a n c e ( A ) 求平衡矩阵。 [ T , B ] = b a l a n c e ( A ) 找到一个相似变换矩阵T和矩阵B， 使得它们满足B=T－1 AT。 B是用命令b a l a n c e求得的平衡矩阵。 e i g s ( A ) 返回一个由矩阵A的部分特征值组成的向量，和命令 e i g 一样，但是不返回全部的特征值。如果不带有参量，则计 算出最大的特征值。当计算所有特征值时，如果矩阵 A的 秩不小于6，则计算出6个特征值来。 e i g s ( f , n ) 求出矩阵A的部分特征值。在使用一个矩阵列的线性运算 符时，字符串f中包含的是M文件的文件名，n指定问题的 阶次。用这种方法来求特征值比开始就用运算符来求要快。e i g s ( A ,B , k , s i g m a) 求矩阵A的部分特征值，矩阵B的大小和A相同；如果没有 给出B= e y e ( s i z e ( A ) )，那么k就是要计算的特征值的个数； 如果k没有给出，就用小于6的数或者A的秩；变量s i g m a是 一个实数或者复数的移位参数，或者下列文本字符串中的