高中数学：高考一轮复习微专题《求离心率》.docx

离心率专题

一、直接求离心率

（一）利用定义求离心率

1．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（???????）

A． B． C． D．

【分析】

根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.

【详解】

因为，

由双曲线的定义可得，

所以，；

因为,由余弦定理可得，

整理可得，所以，即.故选：A

【点睛】

双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.

2．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（）

A． B． C． D．

【分析】

设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率.

【详解】

在中，

设，则，又由椭圆定义可知，

则离心率，故选D.

点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.

3、设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线r的离心率等于（）

4、设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为（）

A． B． C． D．3

【详解】

试题分析：因为是双曲线上一点，

所以，又

所以，，所以

又因为，所以有，，即

解得：（舍去），或；

所以，所以故选B.

考点：1、双曲线的定义和标准方程；2、双曲线的简单几何性质.

已知椭圆的左焦点为

（）

A． B． C． D．

【详解】

代入得，解得,由此可得三角形ABF为直角三角形．

OF=5，即c=5.

由椭圆为中心对称图形可知当右焦点为时，,

【考点定位】

本题考查椭圆定义，解三角形相关知识以及椭圆的几何性质．

6、已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在轴上，为等边三角形，且线段的中点恰在双曲线上，则双曲线的离心率为（???????）

A． B．2

C． D．

【分析】

设线段的中点为，根据双曲线的定义，可得，

再根据等边三角形的特点可知，由此可得，即可求出离心率.

【详解】

如图所示，设，，设线段的中点为，则在双曲线的右支上，

又为等边三角形，所以，所以，所以

连接，则在等边三角形中，且，

所以，所以，即双曲线的离心率为.

故选：C.

7、直线与双曲线在第一、第三象限分别交于P、Q两点，是C的右焦点，有，且，则C的离心率是(???????)

A． B． C． D．

【分析】

根据题意可知为矩形，求出、即可根据双曲线定义求出2a，从而根据离心率计算公式求

【详解】

由对称性可知四边形为平行四边形，

又由得四边形为矩形，

∴，

又，∴，，

∴有，

∴.

（二）利用通径求离心率

1、已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线

的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（???????）

A． B． C．2 D．3

【分析】

设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.

【详解】

设双曲线与抛物线的公共焦点为，

则抛物线的准线为，

令，则，解得，所以,

又因为双曲线的渐近线方程为，所以，

所以，即，所以，

所以双曲线的离心率.

故选：A.

2、双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（B）

A． B． C． D．

3、，是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于，两点，假设是正三角形，那么这个椭圆的离心率为〔〕

4、过椭圆的一个焦点作垂直于长轴的弦，是另一个焦点，假设，那么椭圆的离心率为〔〕

5、过双曲线〔，〕的右焦点作垂直于实轴的弦，是左焦点，假设，那么此双曲线的离心率等于〔〕

二、通过构建方程间接求离心率

1、设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）

A． B．5 C． D．

【详解】

由题意知:双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=,所以

,,故选D.

【考点定位】本小题考查双曲线与抛物线的基本知识,求离心率、直线与抛物线的位置关系等.

2、设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（）

A． B． C． D．

【