高中数学：概率模型的辨别理解与应用.docx

概率模型的辨别、理解与应用

【考向预测】

概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；

对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”.

【知识回顾】

概率模型公式及相关结论

古典概型的概率公式

_P(A)=__________________________

(2)条件概率

在A发生的条件下B发生的概率:

___________________________

(3)相互独立事件同时发生的概率:若A,B相互独立

则___________________________

(4)若事件A,B互斥,则___________________________

且

独立重复试验与二项分布

如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么它在n次独立重复试验中

恰好发生k次的概率为,.

用X表示事件A在n次独立重复试验中发生的次数，则X服从二项分布，,

超几何分布

在含有M件次品的N件产品中，任取件，其中恰有次品，

离散型随机变量的均值、方差

离散型随机变量的分布列为：

…

…

P

P

…

…

离散型随机变量的分布列具有两个性质：

=1\*GB3①0

=2\*GB3②

E（）=为随机变量的数学期望或均值

数学期望、方差的性质

=1\*GB3①

=2\*GB3②

=3\*GB3③

【例题剖析】

命题角度一：超几何分布的判断、期望与方差的求解

例1资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善．郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数(AQI)，其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得的AQI的平均值为依据，播报我市的空气质量．(1)若某日播报的AQI为118，已知轻度污染区AQI的平均值为74，中度污染区AQI的平均值为114，求重度污染区AQI的平均值．(2)下表是2019年11月的30天中AQI的分布，11月份仅有一天AQI在[170，180)内．

组数

分组

天数

第一组

[50，80)

3

第二组

[80，110)

4

第三组

[110，140)

4

第四组

[140，170)

6

第五组

[170，200)

5

第六组

[200，230)

4

第七组

[230，260)

3

第八组

[260，290)

1

郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的AQI为标准，如果AQI小于180，则去进行社会实践活动，以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；

②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI不小于180的天数为X，求X的分布列及数学期望．

命题角度二：二项分布的判断、期望与方差的求解

例2甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”，在相同条件下，两人6次测试的成绩（单位：分）记录如下：

甲867792727884

乙788288829590

用茎叶图表示这两组数据，现要从中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参加更好？说明理由（不用计算）

若将频率视为概率，对运动员甲在今后3次测试中的成绩进行预测，记这3次测试的成绩高于85分的次数为X，求X的分布列和数学期望E（X）及方差D（X）

命题角度三：独立事件的判断、期望与方差的求解

例3:红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。

（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；

（Ⅱ）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望.

命题角度四：利用均值与方差破解决策性问题

例4某水果批发商经销某种水果(以下简称A水果)，购入价为300元/袋，并以360元／袋的价格售出，若前8小时内所购进的A水果没有售完，则批发商将没售完的A水果以220元／袋的价格低价处理完毕(根据经验，2小时内完全能够把A水果低价处理完，

且当天不再购进)．该水果批发商根据往年的销量，统计了100天A水果在每天的前8小时内的销售量，制成如下频数分布条形图．

现以记录的100天的A水果在每天的前8小时内的销售量的频率作为A水果在一天的前8小时内的销售量的概率，记X表示A水果一天前8小时内的销售量，n表示水果批发商一天批发A水果的袋数．

(1)求X的分布列；

(2)以日利润的期望值为决策依据，在中选其一，应选用哪个?

【课堂总结】

相互独立事件的特征：事件A的发生不会影响事件B的发生。

独立重复试验是在相同的条件下重复做的n次独立试验，此时注意二项分布的应用。