高中数学：概率模型的辨别理解与应用答案.docx

概率模型的辨别、理解及应用答案

命题角度一：超几何分布的判断、期望与方差的求解

例1资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善．郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数(AQI)，其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得的AQI的平均值为依据，播报我市的空气质量．(1)若某日播报的AQI为118，已知轻度污染区AQI的平均值为74，中度污染区AQI的平均值为114，求重度污染区AQI的平均值．(2)下表是2019年11月的30天中AQI的分布，11月份仅有一天AQI在[170，180)内．

组数

分组

天数

第一组

[50，80)

3

第二组

[80，110)

4

第三组

[110，140)

4

第四组

[140，170)

6

第五组

[170，200)

5

第六组

[200，230)

4

第七组

[230，260)

3

第八组

[260，290)

1

郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的AQI为标准，如果AQI小于180，则去进行社会实践活动，以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；

②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI不小于180的天数为X，求X的分布列及数学期望．

解：(1)设重度污染区AQI的平均值为x，则74×2＋114×5＋2x＝118×9，解得x＝172.

即重度污染区AQI的平均值为172.

(2)①由题意知，AQI在[170，180)内的天数为1，由题表可知，AQI在[50，170)内的天数为17，故11月份AQI小于180的天数为1＋17＝18.又eq\f(18,30)＝eq\f(3,5)，则该校周日去进行社会实践活动的概率为eq\f(3,5).

②由题意知，X的所有可能取值为0，1，2，3，且P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,18)Ceq\o\al(0,12),Ceq\o\al(3,30))＝eq\f(204,1015)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(2,18)Ceq\o\al(1,12),Ceq\o\al(3,30))＝eq\f(459,1015)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,18)Ceq\o\al(2,12),Ceq\o\al(3,30))＝eq\f(297,1015)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(0,18)Ceq\o\al(3,12),Ceq\o\al(3,30))＝eq\f(11,203).则X的分布列为：

X

0

1

2

3

P

eq\f(204,1015)

eq\f(459,1015)

eq\f(297,1015)

eq\f(11,203)

所以E(X)＝0×eq\f(204,1015)＋1×eq\f(459,1015)＋2×eq\f(297,1015)＋3×eq\f(11,203)＝eq\f(6,5).

命题角度二：二项分布的判断、期望与方差的求解

例2甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”，在相同条件下，两人6次测试的成绩（单位：分）记录如下：

甲867792727884

乙788288829590

用茎叶图表示这两组数据，现要从中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参加更好？说明理由（不用计算）

若将频率视为概率，对运动员甲在今后3次测试中的成绩进行预测，记这3次测试

的成绩高于85分的次数为X，求X的分布列和数学期望E（X）及方差D（X）

解：（1）茎叶图如图：

甲

甲

乙

7

8

2

7

8

8

2

2

8

9

0

5

2

4

6

由图可知，乙的平均水平比甲高，故选派乙参赛更好.

(2)由题意得,甲运动员每次测试的成绩高于85分的概率是

,3次测试的成绩高于85分的次数X服从二项分布,

X所有可能的取值为0,1,2,3

X

0

1

2

3

P

命题角度三：独立事件的判断、期望与方差的求解

例3:红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。

（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；

（Ⅱ）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望.

3.解：（I）设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，

则分别表示甲不胜A、乙不胜B，丙不胜C的事件。

因为

由对立事件的概率公式知

红队至少两人获胜的事件有：

由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结