高中数学：赋值与构造法解抽象函数综合大题.docx

赋值与构造法解抽象函数综合大题

知识点一、赋值求函数值

大多数是大题第一问求值。如下规律技巧：

1.第一层次赋值：常常令字母取0，-1,1，如例题1

2.第二层次赋值：若题中有条件，则再令字母取。如例题2.

3.第三层次赋值：拆分赋值。根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）。如例题3是拆成积，4=2X2,8=4X2；例题4是拆成和，3=1+2=1+1+2

1.（天津市经济技术开发区第二中学2020-2021学年高一上学期期中）已知：函数是定义在上的增函数，对一切实数都有成立，且.

（1）求的值；

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）令即可求得结果；

【详解】

（1）令，则，解得：；

2.（北京市清华大学附属中学2020-2021学年高一上学期数学期中）已知函数满足：，均有，且．

（1）求，的值；

【答案】（1），；（2）奇函数，理由见解析；（3）

【分析】

（1）令可求，令可求；

【详解】

（1）令，则，则，

令，则；

3.（广西桂林市逸仙中学2020-2021学年高一上学期期中）已知函数在其定义域，，且对任意正数x，y都有成立.

（1）求的值；

【答案】（1）3；（2）.

【分析】

（1）利用条件、恒等式和赋值法即可求f（8）的值；

【详解】

（1）由题意得，，任意正数x，y都有成立，

令，得，令，，得；

4.（四川省乐山市乐山外国语学校2020-2021学年高一上学期期中）定义在上的函数是单调函数，满足，且，（，）.

（1）求，；

【答案】（1），；（2）奇函数，证明见解析；（3）.

【分析】

（1）令可求出，令可得，再令，可得，再结合，可求出的值；

知识点二、抽象函数证明或判断奇偶性

证明奇偶性，实质就是赋值。通过以下几道例题的第一问，分析出赋值规律。

1.可赋值，得到一些特殊点函数值，如f（0），f（1）等，

2.尝试适当的换元字母，构造出x和-x，如f（x+y），可令y=-x，f（xy），可令y=-1等等

3.通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。

实际授课，是实验探索第2条来推导赋值第1条。

1.（抽象式子特征：积→和）（安徽省六安市皖西中学2020-2021学年高一上学期期中）已知定义在上的函数满足：①，；②当时，且．

（1）判断函数的奇偶性；

【答案】（1）为偶函数；（2）最大值为；（3）或．

【分析】

（1）先用赋值法求，再令，得到，从而得到函数的奇偶性；

【详解】

（1）令，则；

令，则，得．

由，令，则，

∴．

又函数的定义域关于原点对称，

∴函数为偶函数．

2,（抽象式子特征：和→和）（福建省厦门第一中学2020-2021学年高一上学期期中）定义在R上的连续函数对任意实数x，y，恒有，且当时，，又.

（1）求证：为奇函数；

【答案】（1）证明见解析；（2）最大值2，最小值-4.

【分析】

（1）令得到，再令，，利用奇偶性的定义证明.

（2）设，，由主条件得到，再判断其正负,然后利用单调性求最值.

【详解】

（1）令，得。令，，得，

∴。∴，即。∴为奇函数

3.（抽象式子特征：特殊的复杂式子）（浙江省温州中学2020-2021学年高一上学期期中）定义在上的函数满足：对任意的都有，且当时，．

（1）判断的奇偶性并证明；

【答案】（1）单调递增；证明见解析；（2）.

【分析】

首先判断，再令，判断函数的奇偶性，

【详解】

解：（1）令，则，得，再令，则，

∴，∴为奇函数。

4.（抽象式子特征：和→和+常数）（长春市东北师大附中2020-2021学年上学期期中）若定义在R上的函数满足：，，都有成立，且当时，.

（1）求证：为奇函数；

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）或.

【分析】

（1）首先令求得，然后令可得奇函数的结论；

【详解】

解：（1）

可得为奇函数

5.（抽象式子特征：和→复杂）（广西南宁三中2020-2021学年高一（上）期中）定义在上的函数，对任意都有.

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；

【答案】（1）在定义域上为奇函数；理由见解析；（2）1.

【分析】

（1）分别取，，利用奇偶性的定义求解.

【详解】

（1）取，则，∴，任取，

则，即，∴在定义域上为奇函数；

6.（抽象式子特征：积→积）（贵州省黔南布依族苗族自治州都匀市第一中学2019-2020学年高一上学期期中）已知函数的值满足（当时），对任意实数，都有，且，，当时，.

（1）求的值，判断的奇偶性并证明；

【答案】（1）1，为偶函数，证明见解析；（2）在上是增函数，证明见解析；（3）.

【分析】

（1）令，可求得，再令，求得，即得为偶函数；

解：（1）令，；函数为偶函数.

证明如下：

令，则，，，

故为偶函数；

7.（抽象式子特征：积→和）（安徽省黄山市祁门县第一中