上海市杨浦高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（原卷版）.docxVIP

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2023-2024学年上海市杨浦高级中学高二年级下学期

期中数学试卷

2024.4

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.

1.双曲线渐近线方程是__________．

2.已知在一次随机试验中，定义两个随机事件，，且，，，则__________.

3.小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了7天的数据并绘制成如图所示的茎叶图，则这组数据的第50百分位数是______.

4.某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为，，，假设这三条生产线产品产量的比为，现从这三条生产线上随机任意选取1件食品为次品的概率为______.

5.若抛物线的弦被点平分，则此弦所在直线的斜率为________．

6.随机变量的分布列如下，则______．

0

1

2

P

7.若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为1的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是______.

8.已知11个大小相同的球，其中3个是红球，3个是黑球，5个是白球，从中随机取出4个形成一组，其中三种颜色都有的概率为____________．

9.已知甲同学从学校的2个科技类社团、4个艺术类社团、3个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在有一个是艺术类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率为_____.

10.魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速?盲拧?单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一，一个三阶魔方，由27个单位正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了45°，则该魔方的表面积是__________.

11.某兴趣小组有10名学生，若从10名学生中选取3人，则选取3人中恰有1名女生的概率为，且女生人数超过1人，现在将10名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生的左右相对顺序固定，则共有______种不同的站队方法.

12.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a，则下列结论正确的序号是__________．

①能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a；②勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为；

③勒洛四面体截面面积的最大值为；④勒洛四面体的体积；

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13.n封信投入m个信箱，其中n封信恰好投入同一个信箱的概率是（）．

A. B. C. D.

14.如图，一组数据，的平均数为5，方差为，去除，这两个数据后，平均数为，方差为，则（）

A.， B.， C.， D.，

15.我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即.现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（）

A. B. C. D.

16.对于圆上任意一点，当时，的值与，无关，有下列结论：

①点的轨迹是一个圆；②点的轨迹是一条直线；

③当时，有最大值；④当，时，．

其中正确的个数是（）

A.1 B.2 C.3 D.4

三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤

17.四棱锥中，底面，，，，．

（1）证明：；

（2）求与平面所成的角的大小（用反三角表示）

18.（1）求的二项展开式中的常数项

（2）求的二项展开式中系数最大的项（结果保留通项形式）

19.本市某区对全区高中生的身高(单位：厘米)进行统计，得到如下的频率分