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安徽师范大学附属中学2023~2024学年度第二学期期中考查
高二数学试题
命题教师:吴
一、选择题(每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求)
1.已知为虚数单位,复数,则()
A3 B. C.5 D.2
2.已知向量,,若与垂直,则()
A.13 B. C.11 D.
3.掷两枚质地均匀的骰子,设“第一枚出现奇数点”,“第二枚出现偶数点”,则与的关系为().
A.互斥 B.互为对立
C.相互独立 D.相等
4.已知抛物线()的焦点为,准线为,点在抛物线上,点在准线上,若是边长为6的等边三角形,则的值是().
A.3 B. C.6 D.
5.若一个四位数的各个数位上的数字之和为4,则这样的四位数共有()个.
A.10 B.15 C.19 D.20
6.已知函数存在两个零点,则实数t的取值范围为()
A. B. C. D.
7.杨辉三角(如下图所示)是数学史上的一个伟大成就,杨辉三角中从第2行到第2024行,每行的第3个数字之和为()
A. B. C. D.
8.将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像,再将的图像上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的()倍,得到函数的图像,且在区间上恰有两个极值点、两个零点,则的取值范围为()
A B. C. D.
二、选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.)
9.已知数列的前n项和为,则下列说法正确的是()
A. B.使取最大值n值有2个
C.使得成立的n的最大值为23 D.
10.甲箱中有4个红球,2个白球和3个黑球,乙箱中有3个红球,3个白球和3个黑球,先从甲箱中随机取出一球放入乙箱,分别以,和表示由甲箱取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙箱中随机取出一球,以表示由乙箱取出的球是红球的事件,则下列结论正确的是()
A.事件与事件相互独立 B.
C. D.
11.已知函数,及其导函数,的定义域均为,若的图象关于直线对称,,,且,则()
A.为偶函数 B.的图象关于点对称
C. D.
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分.)
12.设,则______.
13.如图所示为函数的图象,是的导函数,和分别为极大值点和极小值点,则不等式的解集为______.
14.4个半径为1的球两两相切,下面3个上面1个堆放两层摆放在桌上,问上面的球的最高处到桌面的距离为______,在4个球的中间再放1个小球和4个球都相切,小球的半径为______.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)求的单调区间.
16.已知的内角所对边的长分别,且.
(1)若,求的大小;
(2)当取得最大值时,试判断的形状.
17.如图,在四棱锥中,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,,点E,F分别为棱PB,BC的中点.
(1)求证:;
(2)求平面AEF与平面ECD所成二面角的正弦值.
18.汉诺塔(Hanoi)游戏是源于印度古老传说的益智游戏,该游戏是一块铜板装置上,有三根杆(编号A、B、C),在A杆自下而上、由大到小按顺序放置若干个金盘(如下图).游戏的目标:把A杆上的金盘全部移到C杆上,并保持原有顺序叠好.操作规则如下:每次只能移动一个盘子,并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下,小盘在上,操作过程中盘子可以置于A、B、C任一杆上.记n个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移动次数为.
(1)求,,;
(2)写出与的关系,并求出.
(3)求证:
19.已知椭圆C:右焦点为,右顶点为A,直线l:与x轴交于点M,且,
(1)求C的方程;
(2)B为l上的动点,过B作C的两条切线,分别交y轴于点P,Q,
①证明:直线BP,BF,BQ斜率成等差数列;
②⊙N经过B,P,Q三点,是否存在点B,使得,?若存在,求;若不存在,请说明理由.
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