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辽宁省丹东市第十中学2023-2024学年高三第一次调研测试数学试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.等腰直角三角形BCD与等边三角形ABD中,,,现将沿BD折起,则当直线AD与平面BCD所成角为时,直线AC与平面ABD所成角的正弦值为()
A. B. C. D.
2.中,,为的中点,,,则()
A. B. C. D.2
3.设双曲线的左右焦点分别为,点.已知动点在双曲线的右支上,且点不共线.若的周长的最小值为,则双曲线的离心率的取值范围是()
A. B. C. D.
4.已知为两条不重合直线,为两个不重合平面,下列条件中,的充分条件是()
A.∥ B.∥
C.∥∥ D.
5.若集合,,则()
A. B. C. D.
6.设集合,集合,则=()
A. B. C. D.R
7.函数的定义域为,集合,则()
A. B. C. D.
8.已知集合,,若,则()
A.4 B.-4 C.8 D.-8
9.关于函数有下述四个结论:()
①是偶函数;②在区间上是单调递增函数;
③在上的最大值为2;④在区间上有4个零点.
其中所有正确结论的编号是()
A.①②④ B.①③ C.①④ D.②④
10.已知,满足约束条件,则的最大值为
A. B. C. D.
11.运行如图所示的程序框图,若输出的的值为99,则判断框中可以填()
A. B. C. D.
12.设复数满足为虚数单位),则()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知内角,,的对边分别为,,.,,则_________.
14.已知双曲线的左右焦点分别关于两渐近线对称点重合,则双曲线的离心率为_____
15.已知,,且,若恒成立,则实数的取值范围是____.
16.设等比数列的前项和为,若,,则__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数
(1)若恒成立,求实数的取值范围;
(2)若方程有两个不同实根,,证明:.
18.(12分)某芯片公司为制定下一年的研发投入计划,需了解年研发资金投入量x(单位:亿元)对年销售额y(单位:亿元)的影响.该公司对历史数据进行对比分析,建立了两个函数模型:①y=α+βx2,②y=eλx+t,其中
现该公司收集了近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据,i=1,2,?,12,并对这些数据作了初步处理,得到了右侧的散点图及一些统计量的值.令
x
y
i=1
i=1
u
v
20
66
770
200
460
4.20
i=1
i=1
i=1
i=1
3125000
21500
0.308
14
(1)设ui和yi的相关系数为r1,xi和
(2)(i)根据(1)的选择及表中数据,建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01);
(ii)若下一年销售额y需达到90亿元,预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?
附:①相关系数r=i=1n(xi-x
②参考数据:308=4×77,90≈9.4868,e
19.(12分)在中,角的对边分别为,且.
(1)求角的大小;
(2)若,求边上的高.
20.(12分)已知点、分别在轴、轴上运动,,.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)过点且斜率存在的直线与曲线交于、两点,,求的取值范围.
21.(12分)已知椭圆E:()的离心率为,且短轴的一个端点B与两焦点A,C组成的三角形面积为.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)若点P为椭圆E上的一点,过点P作椭圆E的切线交圆O:于不同的两点M,N(其中M在N的右侧),求四边形面积的最大值.
22.(10分)在中,角,,所对的边分别是,,,且.
(1)求的值;
(2)若,求的取值范围.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
设E为BD中点,连接AE、CE,过A作于点O,连接DO,得到即为直线AD与平面BCD所成角的平面角,根据题中条件求得相应的量,分析得到即为直线AC与平面ABD所成角,进而求得其正弦值,得到结果.
【详解】
设E为BD中点,连接AE、CE,
由题可知,,所以平面,
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