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辽宁省大连市普兰店区第二中学2023-2024学年高三3月份第一次模拟考试数学试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.将函数f(x)=sin3x-cos3x+1的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,给出下列关于g(x)的结论:
①它的图象关于直线x=对称;
②它的最小正周期为;
③它的图象关于点(,1)对称;
④它在[]上单调递增.
其中所有正确结论的编号是()
A.①② B.②③ C.①②④ D.②③④
2.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()
A. B.
C. D.
3.已知平面,,直线满足,则“”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.即不充分也不必要条件
4.已知复数满足(是虚数单位),则=()
A. B. C. D.
5.过双曲线的右焦点F作双曲线C的一条弦AB,且,若以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点,则双曲线C的离心率为()
A. B. C.2 D.
6.已知数列中,,若对于任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围为()
A. B.
C. D.
7.若不等式对恒成立,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
8.已知,则的大小关系为()
A. B. C. D.
9.已知i为虚数单位,则()
A. B. C. D.
10.一个正三角形的三个顶点都在双曲线的右支上,且其中一个顶点在双曲线的右顶点,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
11.若单位向量,夹角为,,且,则实数()
A.-1 B.2 C.0或-1 D.2或-1
12.已知函数,,若对任意的,存在实数满足,使得,则的最大值是()
A.3 B.2 C.4 D.5
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知点为双曲线的右焦点,两点在双曲线上,且关于原点对称,若,设,且,则该双曲线的焦距的取值范围是________.
14.根据如图所示的伪代码,输出的值为______.
15.在中,,点是边的中点,则__________,________.
16.如图,为测量出高,选择和另一座山的山顶为测量观测点,从点测得点的仰角,点的仰角以及;从点测得.已知山高,则山高__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)如图,在四边形ABCD中,AB//CD,∠ABD=30°,AB=2CD=2AD=2,DE⊥平面ABCD,EF//BD,且BD=2EF.
(Ⅰ)求证:平面ADE⊥平面BDEF;
(Ⅱ)若二面角CBFD的大小为60°,求CF与平面ABCD所成角的正弦值.
18.(12分)如图,已知,分别是正方形边,的中点,与交于点,,都垂直于平面,且,,是线段上一动点.
(1)当平面,求的值;
(2)当是中点时,求四面体的体积.
19.(12分)的内角的对边分别为,已知.
(1)求的大小;
(2)若,求面积的最大值.
20.(12分)在直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上且轴,直线交轴于点,,椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过的直线交椭圆于两点,且满足,求的面积.
21.(12分)在四棱锥中,底面是平行四边形,为其中心,为锐角三角形,且平面底面,为的中点,.
(1)求证:平面;
(2)求证:.
22.(10分)已知函数,.
(1)求函数的极值;
(2)当时,求证:.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
根据函数图象的平移变换公式求出函数的解析式,再利用正弦函数的对称性、单调区间等相关性质求解即可.
【详解】
因为f(x)=sin3x-cos3x+1=2sin(3x-)+1,由图象的平移变换公式知,
函数g(x)=2sin[3(x+)-]+1=2sin(3x+)+1,其最小正周期为,故②正确;
令3x+=kπ+,得x=+(k∈Z),所以x=不是对称轴,故①错误;
令3x+=kπ,得x=-(k∈Z),取k=2,得x=,故函数g(x)的图象关于点(,1)对称,故③正确;
令2kπ-≤3x+≤2kπ+,k∈Z,得-≤x≤+,取k=2,得≤x≤,取k=3,得≤x≤,故
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