小题压轴题专练18—立体几何（线面角1）—2022届高三数学一轮复习.docVIP

小题压轴专练18—立体几何（线面角1）

一．单选题

1．正四面体中，在平面内，点是线段的中点，在该四面体绕旋转的过程中，直线与平面所成角的余弦值不可能是

A． B． C． D．1

2．如图，在矩形中，，，、分别为边，的中点，

沿将折起，点折至处与不重合），若、分别为线段，的中点，则在折起过程中，

A．可以与垂直

B．不能同时做到平面且平面

C．当时，平面

D．直线、与平面所成角分别为，，，能够同时取得最大值

3．正四面体，在平面内，点是线段的中点，在该四面体绕旋转的过程中，直线与平面所成角不可能是

A．0 B． C． D．

4．如图，在菱形中，，，分别是边，的中点，现将沿着对角线翻折，则直线与平面所成角的正切值最大值为

A． B． C． D．

5．在正方体中，，分别为棱，的中点，为侧面内一个动点．若平面，则与平面所成角的正切值的最大值为

A． B．1 C．2． D．

6．已知棱长为2的正四面体，点为上一定点，，点为棱上的动点，设与平面所成的角为，则的最小值是

A． B． C． D．

7．如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过，，三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连结和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为

A． B． C． D．

8．在正方体中，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是

A． B． C． D．

二．多选题

9．在正方体中，点为线段上一动点，则

A．对任意的点，都有

B．三棱锥的体积为定值

C．当为中点时，异面直线与所成的角最小

D．当为中点时，直线与平面所成的角最大

10．已知正方体棱长为2，如图，为上的动点，平面．下面说法正确的是

A．直线与平面所成角的正弦值范围为

B．点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大

C．点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形

D．已知为中点，当的和最小时，为的中点

11．已知图1中，，，，是正方形各边的中点，分别沿着，，，把，，，向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面垂直，再顺次连接，得到一个如图2所示的多面体，则

A．是正三角形

B．平面平面

C．直线与平面所成角的正切值为

D．当时，多面体的体积为

12．如图，正三棱柱的侧面是边长为2的正方形、分别是、的中点，则下列结论成立的是

A．直线与直线是异面直线

B．直线与平面不平行

C．直线与直线所成角的余弦值等于

D．直线与平面所成角的正弦值等于

三．填空题

13．如图，在多面体中，已知棱，，两两平行，底面，，四边形为矩形，，底面内（包括边界）的动点满足，与底面所成的角相等．记直线与底面的所成角为，则的取值范围是．

14．如图，，平面外有一点，，点到角的两边，的距离都等于，则与平面所成角的正切值为．

15．如图，三棱锥中，，，，，，．点在棱上且，则直线与平面所成的角是．

16．如图，正方体的顶点在平面上，若和与平面都成角，则与平面所成角的余弦值为．

小题压轴专练18—立体几何（线面角1）

1．解：平面绕着旋转，其垂线也绕着旋转，如右图，

取中点，连结，则，

等价于平面绕着旋转，

设正四面体中棱长为2，

在中，，，

，

如右图，将问题抽象为几何模型，

平面的垂线可视为圆锥的底面半径，

绕着圆锥的轴旋转，

则，

，

在该四面体绕旋转的过程中，直线与平面所成角的余弦值不可能是．

故选：．

2．解：

对于，连接，假设，又，平面，而，错误；

对于，取，中点，，连接，，，．，，，．平面平面，平面平面，故能同时做到平面且平面．错误；

对于，连接，，当时，，

而，与不垂直，即不垂直平面，错误；

对于，在以为直径球面上，球心为，轨迹为△外接圆与不重合），

连接，取中点连接，，

，，，

直线、与平面所成角取得最大值时，点到平面的距离最大．正确．

故选：．

3．解：由正四面体，可得所有棱长都相等．

①点是线段的中点，．

在该四面体绕旋转的过程中，直线与平面所成角不可能是．

反证法：若直线与平面所成角是，则平面．

则在某一过程必有．

事实上，在该四面体绕旋转的过程中，与是不可能垂直的，因此假设错位，于是直线与平面所成角不可能是．

②在该四面体绕旋转的过程中，当时，可得直线与平面所成角为0．

③如图所示的正四面体．作平面，垂足为．则，，三点在同一条直线上．设直线与平面所成的角为，可得．

．于是可得在该四面体绕旋转的过程中，可得直线与平面所成角为，．

综上可得：直线与平面所成角不可能是．

故选：．

4．解：设菱形的边长为4，

当绕旋转时，中点形成的轨迹为：

以的四等分点为圆心，以为半径的圆，

过引底面的垂线，垂足为，

由题意得点在上，为的中点，

设，，则