高中数学课件：3-2-2双曲线的简单几何性质.pptx

3.2.2双曲线的简单几何性质(第1课时）第三章圆锥曲线的方程人教A版2019选修第一册

焦点在x轴的双曲线x2项系数为正.焦点在y轴的椭圆y2项系数为正.标准方程相同点焦点位置的判断不同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系c2-a2=b2平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹xF1F2yOM(x,y)xyOM(x,y)F1F2上节回顾

曲线的简单几何性类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线的哪些几何性质?如何研究这些性质?xF1F2yOM(x,y)F1F2OxyA1A2B1B2??

探究双曲线的几何性质与利用椭圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用双曲线的标准方程研究双曲线的几何性质，包括双曲线的范围、形状、大小、对称性和特殊点等.下面，我们用椭圆方程来研究双曲线的几何性质.

1.范围1.范围F1F2Oxyx=-ax=a??类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线，我们发现双曲线上点的横坐标的范围是x≤-a，或x≥a,纵坐标的范围是y∈R(图3.2-7).图3.2-7

对称性由图可知,椭圆是轴对称图形,也是中心对称图形.F1F2Oxy??A1(x,y)A2(x,-y)A3(-x,y)A4(-x,-y)F1F2Oxy??A1(x,y)A3(-x,y)A2(x,-y)A4(-x,-y)类比研究椭圆对称性的方法，容易得到，双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的.这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做观曲线的中心。

但我们也把这两点画在y轴上(图3.2-8).顶点F1F2O26y??A1?说明它与x轴有两个交点,坐标分别为B1(0,-b),B2(0,-b)A1(－a,0),A2(a,0).说明它与y轴没有交点,线段A1A2,B1B2分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别等于2a,2b.a和b分别叫做椭圆的实半轴长和虚半轴长.A2?B1?B2?图3.2-82a2b类比椭圆求顶点的方法，双曲线有多少个顶点?它们叫做双曲线的顶点.

渐近线探究利用信息技术画出双曲线和两条直线(图3.2-9).在双曲线的右支上取一点M,测量点M的横坐标xM以及它到直线的距离d,沿曲线向右上方拖动点M，观察xM与d的大小关系，你发现了什么?

渐近线可以发现，点M的横坐标xM越来越大，d越来越小，但是d始终不等于0.实际上，经过两点A1,A2作y轴的平行线，经过两点B1，B2作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形(图3.2-8)，矩形的两条对角线所在直线的方程是.可以发现，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，但永远不相交.一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线。实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.在双曲线方程中，如果a=b,那么方程变为x2-y2=a2，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于2a.这时，四条直线围成正方形，渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.

离心率与椭圆类似，双曲线的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，因为ca0，所以双曲线的离心率椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征?用双曲线渐近线的斜率能刻画双曲线的“张口”大小吗?它与用离心率刻画“张口”大小有什么联系和区别?

离心率例3求双曲线9y2–16x2=144的实半轴与虚半轴长,焦点坐标,离心率及渐近线方程.解：把双曲线的方程9y2–16x2=144化为标准方程

练习1.求下列双曲线的实轴与虚轴的长,顶点和焦点的坐标,离心率,渐近线方程.解：

练习1.求下列双曲线的实轴与虚轴的长,顶点和焦点的坐标,离心率,渐近线方程.解：

练习解：解：

练习解：

练习解：

例1解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，动点M的轨迹就是点的集合将上式两边平方，并化简，得7x2-9y2=63,所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴